x − xe =
∑ (x
i =1
n
i
− x ei ) 2
xe 的 ε 邻域（球域） s (ε ) 定义为点集
98
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
s (ε ) = {x x − xe ≤ ε }
若系统（4-1-1）的初始状态 x0 ∈ s (δ ) ，即 x 0 − x e ≤ δ ，如果其解 x = Φ (t ; x 0 , t 0 ) 位于球 域 s (ε ) ，即满足 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 ，那么就说系统的自由响应是有界的。 根据自由响应是否有界，可以定义如下 4 种稳定性。 1. Lyapunov 意义下的稳定 【定义 4.1.2 】一个系统被称为在其平衡点是 Lyapunov 稳定的，如果对于任意 ε > 0 ，存在
δ (ε , t 0 ) > 0 ，使得 x0 − x e ≤ δ (ε , t 0 ) ，有 x(t ) − x e ≤ ε , ∀t ≥ t 0 。
如果 δ 只与 ε 相关，而与 t 0 无关，则称系统是一致稳定的。时不变系统是一致稳定的，时变 系统则一般不是一致稳定的。 Lyapunov 稳定的意义是：对于某个有界的初始状态，从初始状态出发的轨迹也是有界的。但 轨迹最终不一定落到平衡点。
图 4-1-1 系统(4-1-2)的相平面图，原点是唯一平衡点
【例 4.1.2】非线性系统
&1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣sin( x1 )⎦
其平衡点为 xe = ⎢
（4-1-3）
⎡± nπ ⎤ ⎥ ，也就是有无穷多个平衡点。其相平面图如图 4-1-2 所示。 ⎣ 0 ⎦
4.1 稳定性的定义
根据考查变量的不同，系统的稳定性有不同的定义，有 Lyapunov 稳定性，输入输出稳定型， 甚至输入到状态的稳定性[3]。 Lyapunov 稳定性是内部稳定性，是根据内部状态变量的运动性质来定义的稳定性。 输入输出稳定性是外部稳定性，根据输入输出的性质来定义。输入输出稳定性的定义和判断 涉及到信号的量度，在文献[2][4]中有详细介绍。本章重点介绍 Lyapunov 稳定性，对于输入输出 稳定性只介绍其定义和简单的结论。 Lyapunov 稳定性指的是如下的自治系统在某个平衡点（Equilibrium Point）处的稳定性。
& = Ax ，当 A 非奇异时，系统具有唯一的平衡点 有多个平衡点或没有平衡点。对于线性系统 x
xe = 0 。
【例 4.1.1】系统
97
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
&1 ⎤ ⎡ x 2 ⎤ ⎡x ⎢x ⎥=⎢ ⎥ ⎣ & 2 ⎦ ⎣− x1 − x 2 ⎦
（4-1-2）
是一个线性系统，其唯一平衡点就是原点，其相平面图显示了平衡点周围的运动轨迹特性。
图 4-1-3 Lyapunov 稳定图解（二维系统）
2. 渐近稳定 【定义 4.1.3】一个系统被称为在其平衡点是渐近稳定的，如果平衡点是 Lyapunov 稳定的，并且
lim x(t ) = xe 。如果 δ 与 t 0 无关，则是一致渐近稳定。
t →∞
图 4-1-4 渐近稳定图解（二维系统）
系统在一个平衡点附近是渐近稳定的，意味着从某个范围的初始状态开始的运动轨迹最终落 入平衡点，是一种局部渐近稳定，如图 4-1-4 所示。 初始状态进入平衡点的某个区域后系统就是渐近稳定，否则就不是渐近稳定的。这个区域就 【例 4.1.2】的系 是最大的球域 s (δ ) ，被称为平衡点的吸引域。局部渐近稳定的系统具有吸引域， 统具有多个平衡点，每个平衡点都具有局部渐近稳定性质，也具有吸引域，如图 4-1-5 所示。
1H
4.1 稳定性的定义 ................................................................................................................................. 97 4.1.1 系统的平衡点 ............................................................................................................................. 97 4.1.2 几种LYAPUNOV稳定性的定义 .................................................................................................... 98 4.1.3 输入输出稳定性 ....................................................................................................................... 100 4.2 LYAPUNOV第一法（间接法） ..................................................................................................... 100 4.2.1 线性系统的稳定性判据 ........................................................................................................... 100 4.2.2 非线性系统的稳定性 ............................................................................................................... 101 4.3 LYAPUNOV第二法（直接法） ..................................................................................................... 103 4.3.1 数学基础 ................................................................................................................................... 103 4.3.2 LYAPUNOV稳定性判据 .............................................................................................................. 104 4.4 LYAPUNOV方法在线性系统中的应用 ......................................................................................... 109 4.4.1 线性定常系统的渐近稳定性判据 ........................................................................................... 109 4.4.2 线性定常离散时间系统的渐近稳定判据 ................................................................................111 4.5 LYAPUNOV方法在非线性系统中的应用 ......................................................................................111 参考文献 ..............................................................................................................................................113
图 4-1-2 系统（4-1-3）的相平面图，有无穷多个平衡点
4.1.2 几种 Lyapunov 稳定性的定义
系统的稳定性是针对平衡点来定义的。系统的平衡点不一定就在原点，但我们总可以通过坐 标平移变换，将平衡点转化到原点，例如，定义 z = x − xe 。因而，下面的讨论中，我们总假设 原点是平衡点。 另外，确定以下几个数学定义： 用欧几里德范数 x − x e 表示状态之间的距离，在 n 维空间中
99
第 4 章 稳定性与 Lyapunov 方法
图 4-1-5 多平衡点局部渐近稳定及其吸引域（二维系统）
3．大范围渐近稳定 【定义 4.1.4】一个系统被称为在其平衡点是大范围渐近稳定的，如果平衡点是渐近稳定的，并且 初始状态可以扩展到空间中任意的一个状态点。 很显然，大范围渐近稳定的系统只有一个平衡点，且平衡点的吸引域为整个状态空间。 【例 4.1.1】就是全局渐近稳定的。 4．不稳定 【定义 4.1.5】一个系统被称为在其平衡点是不稳定的，如果不管初始状态的球域如何小，即不管
& = f ( x, t ), x
其中， x ∈ R 是状态变量。
n
x(t 0 ) = x0
（4-1-1）
这里只研究自治系统的稳定性，因为对于普通的系统
& = f ( x, u , t ) x
如果控制是开环的，那么退化为一个自治系统，如果存在控制器 u = k ( x) ，那么闭环系统为
& = f ( x, k ( x), t ) x
现代控制理论
王维波(wnut@)
0H
2006 春季