高考复习专题：函数零点的求法及零点的个数
题型1：求函数的零点.
[例1] 求函数的零点.
2223+--=x x x y [解题思路]求函数的零点就是求方程的根
2223+--=x x x y 02223=+--x x x [解析]令 ，∴
32220x x x --+=2(2)(2)0x x x ---= ∴，∴(2)(1)(1)0x x x --+=112x x x =-==或或
即函数的零点为-1，1，2.
[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数.
题型2：确定函数零点的个数.
[例2] 求函数f 〔x 〕=lnx ＋2x －6的零点个数.
[解题思路]求函数f 〔x 〕=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证f 〔x 〕= lnx ＋2x －6在定义域上连续单调递增，
又有，所以函数f 〔x 〕= lnx ＋2x －6只有一个零点.
方法二：求函数f 〔x 〕=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求的交点的个数.画图可知只有一个.
[反思归纳]求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：)(x f y =
①〔代数法〕求方程的实数根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点.
题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围
[例3] 〔2007·广东〕已知a 是实数,函数,如果函数在区间上有零点，求a 的取值范围.
[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a 的不等式〔组〕，但由于涉及到a 作为的系数，故要对a 进行讨论
[解析] 若 , ,显然在上没有零点, 所以 .0a =()23f x x =-[]1,1-0a ≠
令 , 解得 ()248382440a a a a ∆=++=++
=32a -=
①当 时, 恰有一个零点在上
;
32a -=()y f x =[]1,1-
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则()y f x =[]1,1-
或()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩
解得或综上所求实数的取值范围是 或 .
[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热
点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.
②二次函数的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.
考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围2
()(3)1
f x mx m x
=+-+
[解题思路]由于二次函数的图象可能与x轴有两个不同的交点，应分情况讨论
[解析]〔1〕若m=0，则f〔x〕=－3x+1，显然满足要求.
〔2〕若m≠0，有两种情况：
原点的两侧各有一个，则m＜0；
⇒⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
=
>
-
-
=
1
4
)3
(
2
1
2
m
x
x
m
m
Δ
都在原点右侧，则解得0＜m≤1，综上可得m∈〔－∞，1］.
[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的分布有关的结论：
①方程f〔x〕=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f〔r〕＜0.
②二次方程f〔x〕=0的两根都大于r
③二次方程f〔x〕=0在区间〔p，q〕内有两根
④二次方程f〔x〕=0在区间〔p，q〕内只有一根f〔p〕·f〔q〕＜0，或f〔p〕=0，另一根在〔p，q〕内或f〔q〕=0，另一根在〔p，q〕内.
⑤方程f〔x〕=0的两根中一根大于p，另一根小于q〔p＜q〕
〔二〕、强化巩固训练
1、函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是〔〕.
A．；B．；C．；D．(],1
-∞(]{}
,01
-∞()(]
,00,1
-∞(),1
-∞
[解析] B；依题意得〔1〕或〔2〕或
〔3〕显然〔1〕无解；解〔2〕得；解〔3〕得
又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B.
2、方程的实数解的个数为 _______ .
[解析] 2；在同一个坐标系中作函数及的图象，发现它们有两个交点
x
y)
2
1
(
=
3
2+
-
=x
y
故方程的实数解的个数为2.
3、已知二次函数,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f〔c〕>0,则实数p的取值范围是_________.
[解析] 〔－3，〕只需或
即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈〔－3, 〕.
4、设函数的图象的交点为，则所在的区间是〔〕.
A.〔0,1〕
B.〔1,2〕
C.〔2,3〕
D.〔3,4〕答案B.
5、若方程的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围.
[解析] ；令，则依题意得12
23
k
<<
1
2
)2
(
)
(2-
+
-
+
=k
x
k
x
x
f
，即，解得.
〔三〕、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 .
补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] 〔常数a>0〕的函数y=f〔x〕和y=g〔x〕的图像如
图所示，给出下列四个命题中：
〔1〕 方程f[g 〔x 〕]=0有且仅有三个解； 〔2〕 方程g[f 〔x 〕]=0有且仅有三个解；
〔3〕 方程f[f 〔x 〕]=0有且仅有九个解； 〔4〕方程g[g 〔x 〕]=0有且仅有一个解. 那么，其中正确命题的个数是〔 〕. A ． 1; B. 2; C. 3; D. 4.
[解析] B ；由图可知，，，由左图及f[g 〔x 〕]=0得
，，，由右知方程f[g 〔x 〕]=0有且仅有三个解，即〔1〕正确；由右图及g[f 〔x 〕]=0得，由左图知方程g[f 〔x 〕]=0有且仅有一个解，故〔2〕错误；由左图及f[f 〔x 〕]=0得，，，又由左图得到方程f[f 〔x 〕]=0最多有三个解，故〔3〕错误；由右图及g[g 〔x 〕]=0得，由右图知方程g[g 〔x 〕]=0有且仅有一个解，即〔4〕正确，所以应选择B
2、已知关于x 的二次方程.
〔1〕若方程有两根,其中一根在区间〔－1，0〕内，另一根在区间〔1，2〕内，求m 的范围. 〔2〕若方程两根均在区间〔0，1〕内，求m 的范围.
[解析]〔1〕条件说明抛物线与x 轴的交点分别在区间〔－1，0〕和〔1，2〕内，画出示意图，得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴.2165-<<-m
〔2〕据抛物线与x 轴交点落在区间〔0，1〕内，列不等式组
〔这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间〔0，1〕内通过〕 即解得．∴ ．。