函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)x x x ---= ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y x y x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论[解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得372a -±=①当 372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时,则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或352a --<综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或352a --≤。

[反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. ②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。

考点3 根的分布问题[例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围[解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论[解析]（1）若m=0，则f （x ）=－3x+1，显然满足要求.（2）若m ≠0，有两种情况：原点的两侧各有一个，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>--=0104)3(212m x x m m Δm ＜0；都在原点右侧，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ解得0＜m ≤1，综上可得m ∈（－∞，1］。

[反思归纳]二次方程根的分布是高考的重点和热点，需要熟练掌握有关二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布有关的结论：①方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f（r ）＜0.②二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.0)(,2,042r f a r a b ac b Δ③二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b Δ④二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f（q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.⑤方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a （二）、强化巩固训练 1、函数()221f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是（ ）。

A ．(],1-∞；B ．(]{},01-∞；C ．()(],00,1-∞；D ．(),1-∞[解析] B ；依题意得（1）⎪⎩⎪⎨⎧<>--=∆>0)0(04)2(02f m m 或（2）⎪⎩⎪⎨⎧>>--=∆<0)0(04)2(02f m m 或（3）⎩⎨⎧=--=∆≠04)2(02m m 显然（1）无解；解（2）得0<m ；解（3）得1=m又当0=m 时12)(+-=x x f ，它显然有一个正实数的零点，所以应选B 。

2、方程223x x -+=的实数解的个数为_______ 。

[解析] 2；在同一个坐标系中作函数xy )21(=及32+-=x y 的图象，发现它们有两个交点故方程223x x -+=的实数解的个数为2。

3、已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________。

[解析] (－3，23） 只需2(1)2290f p p =--+>或2(1)210f p p -=-++>即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3, 23)。

4、设函数321()2x y x y -==与的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）。

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 答案B 。

5、若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k的取值范围。

[解析]1223k <<；令12)2()(2-+-+=k x k x x f ，则依题意得⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-01242401221012k k k k k ，解得1223k <<。

（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。

补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是（ )。

A ． 1; B. 2; C. 3; D. 4。

[解析] B ；由图可知，][)(a a x f ，-∈，][)(a a x g ，-∈，由左图及f[g(x)]=0得]2[)(1a a x x g --∈=，，]02[)(2，ax x g -∈=，2)(ax g =，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得)2()(0a ax x f ，∈=，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得]2[)(1aa x x f --∈=，，]02[)(2，a x x f -∈=，2)(ax f =，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得)2()(0a ax x g ，∈=，由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择B2、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=。

(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围。

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围。

[解析](1)条件说明抛物线2()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组 y y =f ( a yy =g (a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过) 即解得1122m -<≤-．∴1,122m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．。