函数零点的求法及零点的个数
题型1：求函数的零点。
[例1] 求函数
22
3-=x x y [解题思路]求函数
=y 02223=+--x x x 的根
[解析]令 32220x x x --+=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴即函数
222
3+--=x x x y [反思归纳] 题型2[例2] 求函数f(x)=lnx ＋[解题思路]求函数2x －6=0的解的个数
[解析]方法一：易证调递增，
又有(1)(4)0f f ⋅<方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数
即求ln 62y x
y x =⎧⎨
=-⎩的交点的个数。
画图可知只有一个。
有两种常用方法： )(x f y =的图像联系起来，并利
()a x ax x f --+=3222
,如果a 的取值范围。
()x f y =在区间
，但由于涉及到a 作
显然在[]1,1-上没有零点, 所以
令
=, 解得
a =
①当
a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;
②当()()()(
111-=⋅-a a f f 上也恰有一个零点。
③当
()
y f x =在[
-
()()20824401
1121010a a a a f f >⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨
⎪
≥⎪
⎪
-≥⎩
解得5a ≥或32a -<
a ≤ 。
[反思归纳]②二次函数2
()f x ax bx =++口方向等是处理二次函数问题的重要依据。
考点3 根的分布问题
[例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围
x 轴有两个不同的交点，应，显然满足要求. ⇒<>-0
04)2m m ＜0；
≥,0,0解得0＜m ≤1，综上可得m
大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）
r
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.0)(,2,
042r f a r a
b a
c b Δ
③二次方程f （x ）=0⎪⎪⎪
⎨⎧<-
<>-=⇔,2,042q a b p ac b Δ④二次方程f （x ）=0＜0，或f （p ）=0q ）内.
⑤方程f （x ）=0⎩⎨
⎧>⋅<⋅⇔.0)(,
0)(q f a p f a （二）、强化巩固训练 1、函数()221f x mx x =-+取值范围是（ ）。
A ．(
],1-∞；B ．(
]
{},01-∞)(]0,1；D [解析] B ；依题意得<--=>0)04)2(0
2
m ⎪⎩⎪⎨⎧>>--=∆<0)0(04)2(02
f m m 或
（3）
⎩⎨⎧=--=∆≠04)2(02m m 显然（1）无解；解（2）得0<m ；解（3）得1=m
又当0=m 时12)(+-=x x f ，它显然有一个正实数的零点，所以应 _______ 。
x y )21(=及
32
+-=x y 的图象，2。
221x p p --+,若在区间［－1，
则实数p 的取值范围是
需2(1)2290f p p =--+>或
－3, 23
)。
00(,)x y ，则0x 所在的区
间是（ ）。
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4) 答案B 。
5、若方程2(2)210x k x k +-+-=的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求实数k 的取值范围。
[解析] 12
23k <<；令12)2()(2
-+-+=k x k x x f ，则依题意得 ⎪⎩
⎪
⎨⎧><>0)2(0)1(0
)0(f f f ，即⎪⎩⎪
⎨⎧>-+-+<-+-+>-0
12424012210
12k k k k k ，解得12
2
3k <<。
（三）、小结反思：本课主要注意以下几个问题：1．利用函数的图
象求方程的解的个数；2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题 。
补充题：1、定义域和值域均为[-a,a] (常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：
(1) 方程f[g(x)]=0有且仅有三个解； (2) 方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；
(3) 方程f[f(x)]=0有且仅有九个解； (4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是（ )。
A ． 1; B. 2; C. 3;
D. 4。
[解析] B ；由图可知，][)(a a x f ，-∈，][)(a a x g ，-∈，由左图及f[g(x)]=0得 ]2[)(1a a x x g --∈=，，]02[)(2，a x x g -∈=，
2)(a x g =，由右知方程f[g(x)]=0有且仅有三个解，即(1)正确；由右图及g[f(x)]=0得)
2()(0a a
x x f ，∈=，由左图知方程g[f(x)]=0有且仅有一
个解，故(2)错误；由左图及f[f(x)]=0得
]
2[)(1a
a x x f --∈=，，]02[)(2，a x x f -∈=，2)(a
x f =
，又由左图得到方程f[f(x)]=0最多有三个解，故(3)错误；由右图及g[g(x)]=0得)
2()(0a a
x x g ，∈=，
由右图知方程g[g(x)]=0有且仅有一个解，即(4)正确，所以应选择
B
2、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=。
(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围。
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围。
[解析](1)条件说明抛物线2()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴21
65-<<-m .
?a a x y y ?f (x ) O a
?a ?a a x y y ?g (x )
O a ?a
(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<-<≥∆>>10,
0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧<<-
+≥->->⇒.0121,21,21m m m m m 或m 应在区间(0，1)内通过)。