电磁场与电磁波练习1、 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E 。

解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为204Rdq E d πε=由对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即()2322204cos zazdqRz Rr dq E d E d z +===πεπεθ积分得到()()()()2322232202322232242444zaqza zaz dlzazdq za zE lz +=+=+=+=⎰⎰πεππελλπεπε2、 半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为δ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场强，(2)在保持δ不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何？(3)在保持总电荷δπ2a q =不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何?解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为δπdr dq 2=由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为zRdqo azRdqo()()2322232224zrrdrz zrzdqE d +=+=εδπε则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=⎰22002322122za z zrrdrz E az εδεδ （2）若δ不变，当0→a 时，则0)11(20=-=εδz E；当∞→a ，则002)01(2εδεδ=-=z E(3)若保持δπ2a q =不变，当0→a 时，此带电圆面可视为一点电荷。

则204zq E z πε=。

当∞→a 时，0→δ，则0=z E。

3、 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填充介电常数为ε的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷λ。

试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为ab W ln42πελ=。

证：在内外导体间介质中的电场为)(2b r a rE <<=πελ沿同轴线单位长度的储能为a bdr r e dVE e dV D E W ln 422222122πελππελ=⎪⎭⎫⎝⎛==∙=⎰⎰⎰4、 在介电常数为ε的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存在介质中的静电能量。

解：导体在空间各点产生的电场为)()0(02a r rr q E a r E r w >=<<=πε故静电能量为a q dr r r qdVE dV E D W VV πεππεεε84421212122222=⎪⎭⎫⎝⎛==∙=⎰⎰⎰∞5、 真空中一半径为R 的圆球空间内，分布有体密度为ρ的电荷，ρ为常量。

试求静电能量。

解：应用高斯通量定理，得出电场强度)(3)(32030R r rRE R r r E r r >=<=ερερ故5224205202222220154494922Rdr r rR dr r rdV E W RRVe ρεππερπερεε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰∞6、一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小。

解：电荷面密度为σ的“无限大”平面，在其周围任意点的场强为：以图中O 点为圆心，取半径为r →r+dr的环形面积，其电量为：它在距离平面为a 的一点处产生的场强为：则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为： 由题意：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=⎰22002/322122R a arardra E Rεσεσ 02E εσ=rdr2dq πσ=()2/3220ra 2ardr dE +εσ=220412εσεσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-R a aaR O Eσ7、已知两半径分别为a 和)(a b b >的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为V 。

试证：将半径分别为a 和b ，介电常数为ε的介质管拉进电容器时，拉力为ab VF ln )(20εεπ-=证：内外导体间的电场为ab r V E r ln=插入介质管后的能量变化为ab zVdz dr ra b r B dVE W zbavln )(ln 2)(21)(21200222020εεππεεεε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰⎰式中z 为介质管拉进电容器内的长度。

故拉力为ab VzW F V ln )(20εεπ-=∂∂=不变8、今有一球形薄膜导体，半径为R ，其上带电荷q 。

求薄膜单位面积上所受膨胀力。

解：孤立导体球电容RRq q qC 0044/πεπεϕ===采用球坐标，原点置于球心，选g 为R ，则20222222284222RqCqRCC qF g C C qF R g πεπε==∂∂=∂∂=R F 的方向与R 增大的方向相同，为膨胀力。

单位面积上的力为DEER qR F F S SR R 21212)4(240222022====='ρερπεπ该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。

9、一同轴线的内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I ，内、 外导体间的电压为U 。

求同轴线的传输功率和能流密度矢量。

解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：)(2,1b r a e rI H e ab nr U E r <<==φπze a b nr UI H E S 122π=⨯=上式说明电磁能量沿z 轴方向流动，由电源向负载传输。

通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为⎰⎰=⋅=⋅=baS UIrdr ab nr UI dS S P ππ212'2'这一结果与电路理论中熟知的结果一致。

10、设同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b ，内、 外导体间填充电导率为σ的电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。

11、已知时变电磁场中矢量位 ，其中A m 、k 是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。

12、已知无源(ρ=0, J =0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k 、E 0为常数。

求：（1）磁场强度复矢量； （2）坡印廷矢量的瞬时值； （3）平均坡印廷矢量。

)sin(kz t A e A m x -=ω)/(m V jkz y eE e z E -=0)(13、已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f =108 Hz ， 电场强度试求： (1) 均匀平面电磁波的相速度v p 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η；()m V ee e e z E j jkz y jkz x /33)(3π+--+=(2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；(3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。

114、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为试求：(1) 工作频率f ;(2) 磁场强度矢量的复数表达式； (3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值； (4) 此电磁波是何种极化，旋向如何。

)/(10)()(204m V ee j e z E z j y x π---=15、若内充空气的矩形波导尺寸为λλ2<<a ，工作频率为3GHz 。

如果要求工作频率至少高于主模TE 10波的截止频率的20%，且至少低于TE 01波的截止频率的20%。

试求：①波导尺寸a 及b ；②根据所设计的波导，计算工作波长，相速，波导波长及波阻抗。

16、某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为25mm ⨯10mm ，当频率MHz f 410=的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中填充介电常数4=r ε 的理想介质后，能够传输的模式有无改变？ 17、判断下列平面电磁波的极化形式：解：(3) E=jE0(jex+ey)e-jkz ，Ex 和Ey 振幅相等，且Ex 相位超前Ey 相位π/2，电磁波沿+z 方向传播，故为右旋圆极化波。

(1) E=jE0(ex-2ey)ejkz ，Ex 和Ey 相位差为π，故为在二、四象限的线极化波。

(4) Ezm ≠Exm ，Ez 相位超前Ex 相位π/2，电磁波沿+y 方向传播， 故为右旋椭圆极化波。

（2）r ke j z xy r e e k j z y x n y x eje e E e je e e E E ⋅-⋅⎪⎭⎫⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1005354100)(554535在垂直于en 的平面内将E 分解为exy 和ez 两个方向的分量，则这两个分量互相垂直，振幅相等，且exy 相位超前ez 相位π/2，exy ×ez=en ，故为右旋圆极化波。

18、证明导体表面的电荷密度σ与导体外的电位函数有如下关系n∂∂-=ϕεσ0，其中n ∂∂ϕ是电位对表面外法线方向的导数。

19、一不带的电孤立导体球（半径为a ）位于均匀电场0E 中。

求电位函数和电场强度。

)68(00)543()()2()2()()1(y x jk z y x jkz y x ee j e e E z E ee j e j E z E ---+=-= jkyz x jkzy x eje e E E eje e E E --+=+-=)3()4()()3(0020、一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度是)220(4)20(41010ππωπω+----∙+=z t j y z t j x eee e E （v/m ）求 （1）电磁波的传播方向。

（2）电磁波的频率。

（3）电磁波的极化方式。

（4）磁场强度∙H 。

（5）沿传播方向单位面积流过的平均功率。

21、从maxwell 方程出发证明电荷守恒定律。

22、在均匀电场0E 中放置一根半径为a ,介电常数为ε的无限长均匀介质圆柱体，它的轴线与电场垂直。

柱外是自由空间，介电常数为0ε。

试求圆柱体内外的电位函数和电场强度。

23、在任何均匀线性各向同性的理想介质中，一个椭圆极化波的电场是jkzj y j x eeE eE -∙+=)(2121ϕϕe e E ，证明 （1）空间任一点的平均电能密度等于平均磁能密度。

（2）能速等于相速。