球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度的方法研究摘要：球形传播火焰法目前被广泛地用来测量不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。

本文研究了用于球形传播火焰的各种线性与非线性模型。

首先，本文基于详细模型推导出了关于拉伸率与曲率的线性与非线性模型；接下来研究了各种模型的准确度及其在球形传播火焰法中的应用情况。

研究结果表明：对于层流火焰速度和Markstein 长度，基于曲率的非线性模型而预测的结果最为准确。

本文研究的结果对球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度有一定的指导意义。

关键词：球形传播火焰法；层流火焰速度；Markstein 长度；非线性模型0 前言层流火焰速度被定义为一维、绝热、平面火焰相对于未燃预混气体的速度[1]。

层流火焰速度是影响燃料燃烧状况和效率的最重要参数之一。

同时，层流火焰速度是验证燃料化学反应机理的重要参数[2, 3]。

另一个反映燃料燃烧特性的重要参数是Markstein 长度。

Markstein 长度表征了由于拉伸率的存在而引起的火焰速度变化，它决定了预混火焰传播的稳定性[2, 4]。

同时层流火焰速度与Markstein 长度也都是湍流预混燃烧模型中的重要参数[5]。

近五十年来，由于层流火焰速度与Markstein 长度的重要性，各种实验方法被用来测量这两个物理量。

球形传播火焰法[6-9]由于有着火焰结构简单以及拉伸率定义准确等特点，目前被广泛地用来测量不同条件下不同燃料的层流火焰速度和Markstein 长度。

在国内，西安交通大学黄佐华教授及其团队利用球形传播火焰法系统地研究了多种碳氢燃料的层流燃烧特性[9-15]。

目前关于球形传播火焰法的研究重点之一是如何提高测量精度。

例如，点火[16]、非稳定性[17]、非球对称[18]、热辐射[19]、气体压缩[19, 20]等影响因素已经得到了系统的研究。

然而，在文献中，不同实验者对同种燃料在同一条件下测得的层流火焰速度和Markstein 长度仍有较大的偏差，特别是Markstein 长度的测量相对偏差甚至可以达到300%[20-22]。

造成这些偏差的原因有待被量化地解释。

一个重要原因在于对实验数据的处理，尤其是那些在理论模型不成立的范围内的实验数据的使用会导致结果偏差很大。

对于球形传播火焰，在压力变化可被忽略时，可以认为已燃气体处于静止状态。

因此，球形火焰面移动的速度就等于相对于已燃气体的层流火焰速度，即S b =dR f (t )/dt 。

当拉伸率较小时，火焰速度与拉伸率成线性关系[6-9]：K L S S b b b -=0(1)其中S b 0和L b 分别是相对于已燃气体的层流火焰速度和Markstein 长度，K =(2/R f )(dR f /dt )是球形火焰的拉伸率。

根据式(1)，S b 0和L b 可以通过对实验测得的S b 和K 进行线性拟合而得到。

未燃烧气体的平面层流火焰速度S u 0则可以通过质量守恒得到：S u 0=σS b 0，其中基金项目：国家自然科学基金(编号50976003)与内燃机国家重点实验室开放课题(编号K2010-02)σ=ρb /ρu 为已燃气体与未燃气体的密度比。

我们将上述火焰速度与拉伸率成线性关系的模型记为LM-S (Liner Model with respect to Stretch)模型，该模型及其积分形式是球形传播火焰法测量层流火焰速度及Markstein 长度的最常用拟合模型。

然而在拉伸率或者Markstein 长度较大时，火焰速度与拉伸率并不是线性关系。

鉴于这一点，Kelley 和Law[23]提出了在球形传播火焰法的数据处理中采用关于火焰速度与拉伸率的非线性对数形式模型(记为NM-L, Nonlinear Model in Logarithm form )：2020/2)/ln()/(bb b b b b S K L S S S S ⋅-= (2)Halter 等人[24]比较了LM-S 和NM-L 这两种模型在数据处理方面的效果。

类似于Kelley 和Law 的观点[23]，Halter 等人[24]认为采用NM-L 模型获得结果更为精确。

最近，我们[25]提出在球形传播火焰法的数据处理中，可以采用由Markstein[4]最先提出的火焰速度与曲率(C =2/R f )间的线性关系：C L S S b b b ⋅-=1/0(3)我们将上式记为LM-C (Liner Model with respect to Curvature)模型。

在我们最近的文章中[25]，我们基于理论分析与数值模拟系统地研究了上述三种模型在球形传播火焰法中的应用情况，研究结果表明采用LM-S ，NM-L ，LM-C 这三种模型获得的结果很大程度上依赖于Lewis 数的大小：当混合气体具有较大的Lewis 数时(对应Markstein 长度大于零)，采用LM-C 模型获得的结果的准确度最高，而当混合气体具有较小的Lewis 数时(对应Markstein 长度小于零)，采用NM-L 模型获得的结果的准确度最高。

所以，要获得精确的层流火焰速度和Markstein 长度，对不同的气体混合物需要采用不同的模型[25]。

尽管模型LM-C 和NM-L 能够较模型LM-S 给出更准确的结果，然而，在Lewis 数远大于或者远小于1.0时，根据这两种模型得到的结果的准确性仍然不够高[25]。

鉴于此，本文的研究目标为构造适用于球形传播火焰法的准确度更高的模型。

注意到式(1)和(3)分别是只考虑拉伸率和曲率的零阶与一阶项(即线性模型)，因此只适用于Markstein 长度较小(即Lewis 数接近于1.0)以及拉伸率或曲率较小的情况。

为了提高模型的准确度，可以在模型中考虑拉伸率或曲率的高阶项(二阶、三阶等)，即非线性模型。

本文将首先基于球形传播火焰理论推导出关于拉伸率和曲率的非线性模型，然后研究非线性模型的准确度及其在球形传播火焰法中的应用情况。

1 非线性模型的理论推导文献[26]基于准静态假设与常密度假设对球形传播火焰进行了理论分析，得出了描述火焰传播速度随火焰半径变化的理论关系式。

在绝热且无热源条件下，关于无量纲火焰传播速度(U )、火焰温度(T f )以及火焰半径(R )的关系为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-==⎰⎰∞----∞----f f ad RULes ULeRRUsURfT T Z ds e s e R Ledses e R T )1(12exp 12222σσ (4)其中Le 为Lewis 数，σ=T u /T ad 是平面绝热火焰的膨胀比，Z ad =(E a /R 0T ad )(1-σ)为基于平面绝热火焰温度的Zeldovich 数。

然而，最近我们在理论分析中发现式(4)在Lewis 数远离于1.0以及火焰半径很小时并不严格成立，更为准确的关系为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+==⎰⎰∞----∞----f f ad f RULes ULeRRUs URfT T Z T ds e s e R Ledse s e R T )1(12exp ])1([122222σσσσ (5) 比较式(4)与式(5)，两者不同在于右端指数前的系数。

这一不同是由于文献[26]中没有考虑球形火焰温度变化对基于球形火焰温度的Zeldovich 数的影响。

图1给出了根据式(4)与式(5)得到的火焰传播速度(U )随火焰半径(R )的变化情况。

当Le =1时，无量纲的火焰温度为T f =1.0，这导致式(5)右端指数前的系数等于1.0，因此式(4)给出的结果与式(5)完全一致。

在Lewis 数接近于1.0且火焰半径较大时，球形火焰温度接近于平面绝热火焰温度。

此时无量纲的火焰温度(T f )接近于1.0，相应地，式(5)右端指数前的系数也接近于1.0，从而式(4)给出的结果接近于式(5)给出的结果。

图1表明在Lewis 数接近于1.0或者火焰半径较大时，式(4)与式(5)给出的结果相差较小；而在Lewis 数远离于1.0或者火焰半径较小时，式(4)与式(5)给出的结果相差较大。

og10(R )U-10120.511.522.533.5Le =1.0Le =2.0Le =0.5solid line s :upda te d m ode l da she d line s :origina l m ode lLe =0.8Le =1.2Log10(R )U00.511.52 2.50.511.521.02.0Le=0.5so lid lines :updated m o del dashed lines :o rig inal m o del1.20.8图1：火焰传播速度(U )随火焰半径(R )的变化我们称式(5)为详细模型(DM, Detailed Model)，根据详细模型可以算出不同火焰半径对应的火焰传播速度的精确解。

接下来我们根据详细模型式(5)来推导非线性模型。

根据泰勒展开可以得到：)1(22132222R O R ULe LeR U dse s e R LeRULes ULeR+-+=⎰∞---- (6)将式(6)代入式(5)中并消去火焰温度T f 后得到以下关于拉伸率和曲率的非线性模型(只考虑到二阶精度，忽略关于拉伸率或曲率的三阶及更高阶项)：2001K a K L U K ⋅+⋅-=, R U K /2= (7) 2001C a C L U C ⋅+⋅-=, R C /2= (8)其中有：)11](2)1(2[10-+--=LeZ Le L ad σ (9) 2000)(L a a C K -= (10)()()[]()()8/)(4/112144112332022121120L Le Le Le Le Le Le Z a C-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-+---+-+-=------σσσσσσ (11) 我们将式(7)和式(8)分别记为NM-S (Nonlinear Model with respect to Stretch) 和NM-C (Nonlinear Model with respect to Curvature)模型。

当忽略拉伸率或曲率的二阶项，则可以得到线性模型LM-S 和LM-C 的无量纲形式：K L U ⋅-=01 (12) C L U ⋅-=01 (13)类似地，非线性对数形式模型NM-L(式2)的无量纲形式为：C L U U ⋅-=0ln (14)2 各种模型的准确性上述五种模型(LM-S ，LM-C ，NM-L ，NM-S ，NM-C)的准确性可以通过和基于DM 模型的数据进行比较得出[25]。