一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-124、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fnn Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

1-23()()12012()(),0()()0,0tf f t d t f t u t f t u t t τττ⎧-≥⎪*=⎨⎪<⎩⎰ 1-246、卷积定理：设[]11()()F f t F w = []22()()F f t F w =11212()()()()FFf t f t F w F w -−−→*⋅←−− 1-25 11212()()()()F Ff t f t F w F w -−−→⋅*←−− 1-26 7、单位脉冲函数:筛选性：假设()f t -∞+∞在（，）上连续，则有：()()(0)t f t dt f δ+∞-∞=⎰ 1-27更一般的有：00()()()t t f t dt f t δ+∞-∞-=⎰ 1-28 时间尺度变换性质：1()()ckt c t k kδδ-=- 其中,0k c ≠ 1-29 特殊的：1()(),(0)kt t k kδδ=≠和()()t t δδ-= 1-30 乘以时间的函数()f t 性质：()()()()f t t a f a t a δδ-=- 1-31 特殊的：()()(0)()f t t f t δδ=和()0t t δ=二、拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换定义式 ：()[]t f L =()0st f t e dt +∞-⎰=()s F拉普拉斯逆变换定义式：()[]()t f s F L =-1 2、常用函数的拉氏变换：()()()111111112222222211111u 1sin cos 1!LL LL L kt L L L L L L L L L m N L m m m L t t se s k k kt s k s kt s k k shkt s k s chkt s k m m t s sδ--------∈++−−→←−−−−→←−−−−→←−−-−−→←−−+−−→←−−+−−→←−−-−−→←−−-Γ+−−→=←−−， ()()()2222222211[]11[1]1[][sin ][cos ][][]1![]kt m N mm m L t L L u t sL e s kk L kt s k sL kt s k kL shkt s k sL chkt s k m m L t s s δ∈++===⎡⎤⎣⎦=-=+=+=-=-Γ+== 3、基本性质：设()()()()11,,1,2,LLi i L Lf t F s f t F s i αβ--−−→−−→=←−−←−−是常数 （1）线性性质： ()()()()11212LLf t f t F s F s αβαβ-−−→⋅+⋅⋅+⋅←−− （2）微分性质： ()()()10LLf t sF s f -−−→'-←−− ()()()1LL dF s t f t ds-−−→-←−− 推广到n 阶：()()()()()()()1112000Ln n n n n Lf t s F s s f s f f ----−−→'---←−−()()()1nLnnL d F s t f t ds -−−→-←−− （3）积分性质：()()1t LL F s f t dt s-−−→←−−⎰()()1Ls L f t F s ds t-∞−−→←−−⎰（4）位移性质：()()010Lst Lf t t e F s --−−→-←−− ()()1L at Le f t F s a -−−→-←−− （5）相似性质：()11,0LL sf at F a a a -⎛⎫−−→>←−− ⎪⎝⎭上面性质写成变换式如下面：（1）线性性质：时域上：()()[]()()s F s F t f t f L 2121⋅+⋅=⋅+⋅βαβα频域上：1-L ()()[]()()t f t f s F s F 2121⋅+⋅=⋅+⋅βαβα（2）微分性质：时域上：()[]()()0f s sF t f L -='推论：()()[]()()()()()()00001321-----''-'--=n n n n n n f f s f s f s s F s t f L频域上：()()()[]1dF s L t f t ds⋅=- 或()()()1[]L F s t f t -'=- 推论： ()()()nn nds s F d t f t L =-][ （3）积分性质：时域上：()()0[]tF s L f t dt s=⎰ 频域上：若()sF s ds ∞⎰收敛，则()()[]s f t L F s ds t∞=⎰ 推广：如果积分()f t dt t+∞⎰存在，则()()00[]f t dt L f t ds t +∞∞=⎰⎰ （4）位移性质：时域上： ()()00[]st L f t t e F s --=或：()()()0100[]st L e F s f t t u t t --=--频域上：()()a s F t f e L at -=][ ()c a s >-Re或：()()()11at atL F s a e L F s e f t ---==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（5）相似性质：()⎪⎭⎫⎝⎛=a s F a at f L 1][ 0>a更广泛：()1[]b s a s L f at b e F a a -⋅⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、卷积定理：()()()()11212LLf t f t F s F s -−−→*⋅←−− 即：()()()()1212[]L f t f t F s F s *=⋅。