⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1． 求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。 其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , （3） f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解 （1） F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω
+∞
+
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
1
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) jsin ωtdτ d ω = ∫
= =
设 f (t ) 是偶函数
π j∫ ∫
−∞
1
0
f (τ ) sin ωτ dτ e jωt d ω =
1 +∞ （ b(ω ) 是 ω 的奇函数） b (ω )e jωt d ω 。 2 j ∫−∞
+∞ 1 +∞ b cos t jsin t d ω ω + ω ω = ( )( ) ∫0 b (ω ) sin ωtdω 2 j ∫−∞
⎤ 2ω 2 + 4 1⎡ 1 1 1 1 = ⎢ + + + ⎥= 2 ⎣ 1 + i (1 − ω ) 1 − i (1 + ω ) 1 − i (1 − ω ) 1 + i (1 + ω ) ⎦ ω 4 + 4
f (t ) 的积分表达式为
f (t ) = 1 2π
+∞ 0
∫
+∞
−∞
F (ω )e i ωt dω =
f (t ) =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω = =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ )( cos ωτ − jsin ωτ ) dτ e jωt dω
+∞ 1 +∞ jωt a ω e d ω = ( ) ∫0 a (ω ) cos ωtdω 2 ∫−∞
a(ω ) 是 ω 的偶函数。 （注也可由 1 题推证 2 题）
3．在题 2 中，设 f ( t ) = ⎨
⎧1, | t |≤ 1 ，试算出 a(ω ) ，并推证 ⎩0, | t |> 1
⎧π ⎪ 2 , | t |< 1 ⎪ +∞ sin ω cos ωt ⎪π d ω = ⎨ , | t |= 1 ∫0 ω ⎪4 ⎪ 0, | t |> 1 ⎪ ⎩
傅氏变换习题解答 习题一
1．试证：若 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件，则有
f (t ) = ∫
其中
+∞
0
a (ω ) cos ωtd ω + ∫ b(ω ) sin ωtd ω
0
+∞
a (ω ) = b(ω ) =
证 f (t ) =
π∫ π∫
1
1
+∞
−∞ +∞
f (τ ) cos ωτ dτ , f (τ ) sin ωτ dτ
1 2π
∫ ∫
+∞
+∞
e−t
1 +∞ +∞ − t +i( 2−ω )t − t −i( 2+ω )t e i 2 t − e − i 2 t − iω t i ω t e −e dteiωt dω e dte d ω = 4π i ∫−∞ ∫0 2i
(
)
=
4π i ∫−∞
4π i ∫−∞ 1
1
⎡ −1−i ( 2 +ω )⎤ ⎣ −1+ i ( 2 −ω )⎤ ⎦t ⎦t ⎤ ⎡ e⎡ e⎣ i ωt − ⎢ ⎥ e dω ⎢ −1 + i ( 2 − ω ) − 1 − i ( 2 + ω ) ⎦ ⎥0 ⎣
=
1 2
{∫
0
−∞
e⎣
⎡1+ i (1−ω )⎦ ⎤t
dt + ∫ e ⎣
−∞
0
⎡1−i (1+ω ) ⎦ ⎤t
dt + ∫ e ⎣
0
dt + ∫ e ⎣
0
+∞
⎡ −1− i(1+ω ) ⎦ ⎤t
dt
}
+∞ +∞ 0 0 ⎡ ⎡ ⎡ ⎧ ⎡ ⎫ ⎣ −1+ i (1−ω ) ⎤ ⎦t ⎣ −1− i (1+ω )⎤ ⎦t ⎣1+ i (1−ω ) ⎤ ⎦t ⎣1− i (1+ω )⎤ ⎦t e e e e 1⎪ 0 0 ⎪ −∞ −∞ + + + = ⎨ ⎬ 2 ⎪ 1 + i (1 − ω ) 1 − i (1 + ω ) −1 + i (1 − ω ) −1 − i (1 + ω ) ⎪ ⎩ ⎭
+∞ 0
1
0
π
∫
+∞
−∞ +∞
f (τ ) cos ωτ dτ cos ωtdω
+∫
因
π
∫
+∞
−∞
f (τ ) sin ωτ dτ sin ωtd ω = ∫ a (ω ) cos ωtd ω + ∫ b(ω ) sin ωtdω
0
+∞
∫
+∞
−∞
f (τ ) sin ωτ cos ωtdτ d ω为ω的奇函数 ， ∫
证 f (t ) 是偶函数
a(ω ) = 2 +∞ 2 sin ωt 1 2 sin ω f (t ) cos ωtdt = = ∫ π 0 π ω 0 π ω
+∞ 0 a(ω ) cos ωtdω =
f (t ) = ∫
π
2 +∞ sin ω cos ωt dω ∫0 ω
所以
π ⎧ ⎪ 2 ⎪ +∞ sin ω cos ωt π ⎪π 0 + 1 π dω = f ( t ) = ⎨ = ∫0 2 4 ω ⎪2 2 0 ⎪ ⎪ ⎩
π
∫
4
+∞
−∞
⎡ sin ωt ⎢ ⎣ ω
⎛ 2t cos ωt 2sin ωt t 2 sin ωt ⎞ ⎤ iωt −⎜ − + ⎟ ⎥ e dω ] 2 ω3 ω ⎠⎦0 ⎝ ω
π∫
2 ( sin ω − ω cos ω )
ω
3
e iω t d ω =
π∫
+∞
sin ω − ω cos ω
0
ω3
f (t ) = =
=
1 2π
∫ ∫
−∞ +∞
1 0
+∞
+∞
−∞
f ( t ) e− i ωt dtei ωt d ω =
2 i ωt
1 2π
1
∫ ∫ (1 − t ) e
+∞
1 2
− i ωt
−∞
−1
dtei ωt d ω
1
1
π
1
∫ ∫ (1 − t ) cos ωtdte
−∞
+∞ −∞
dω =
−∞
f (τ ) cos ωτ cos ωtdτ d ω为ω的偶函数 。
2．试证：若 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件，当 f (t ) 为奇函数时，则有
f (t ) = b(ω )sin (ωt )dω
∫
+∞
0
其中
b (ω ) =
当 f (t ) 为偶函数时，则有
2
π
∫
+∞
0
f (τ ) sin (ωτ ) dτ
3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果。 （1） f (t ) = e
− β |t |
（β > 0） ，证明
+∞
∫
+∞
0
cos ωt π − β |t| dω = e 2 2 β +ω 2β
（2） f (t ) = e −|t| cos t ，证明 ∫
0
ω2 + 2 π cos(ωt )dω = e −|t| cos t 2 ω4 + 4