2 －2 变换式： 1．求下列函数的 Laplace 变换式： 1） f ( t ) = t 2 + 3 t + 2 .
m! 1 2 3 2 m 2 解:由 L t = m +1 及L [1] = 有L t + 3t + 2 = 3 + 2 + . s s s s s
F ( n ) ( s ) = ( −1) L t n f ( t ) , Re ( s ) > c
n
1 特别地 特别地，L tf ( t ) = − F ′ ( s ) ，或 f ( t ) = − L t
−1
F ′ ( s ) ，并利用此结论计 并利用此结论计
2 2 10 − 3 s −3 2 = 2 s +4 s +4 s +4
2
s 及位移性质有 s + 16
2
s+ 4 −4 t L e cos 4t = . （s＋4 2 + 16 ） 证明（象函数的微分性质） 3．若 L f ( t ) = F ( s ) ，证明（象函数的微分性质）:
−1
3) F ( s ) = ln
解: F ( s ) = ln F ' ( s) = −
−1
F ( s ) = f ( t ) ,
1 1 2 = − =L s −1 s +1 s −1
2
(e
−t
− e = −L ( tf ( t ) ) = L ( − tf ( t ) )
t
)
故 L
t −3 t 1 1 2 −3 t 解： L ∫ e sin 2tdt = L e sin 2t = ⋅ , 0 s s ( s + 3 )2 + 4
L t ∫ e 0
t
−3 t
′ 2 3 s 2 + 12 s + 13 ) 2 = ( sin 2tdt = − 2 2 2 s ( s + 3 ) + 4 s 2 ( s + 3 ) + 4 s+1 ，求 f ( t ) . s −1 s+1 , 令L s −1
2
−2 2 ( s + 3 ) = 2 2 =− 2 + 4 s+ 3 + 4
(
)
( s+ 3 )
4 ( s + 3)
2
+ 4
2
2) f ( t ) = t ∫ e−3 t sin 2tdt ，求 F ( s ) .
t 0
2 ) f ( t ) = 1 − te t . 解 ： L [t ] = 1 −t , L te = 2 s
2
( s+ 1)
1
2
1 −t ,L 1− t e = − s
( s- 1)
1
2
.
3) f ( t ) = ( t − 1 ) e t . 解：
2 L ( t -1) e t = L t 2e t − 2te t + e t
=
2
( s-1)
3
−
2
( s-1)
2
+
1 s2 − 4s + 5 . = 3 s- 1 ( s-1)
5） f ( t ) = t cos at . 由微分性质有: 解: 由微分性质有: L [ t cos at ] = −
d d s s2 − a2 L [ cos at ] = − 2 = ds ds s + a 2 ( s 2 + a 2 ) 2
−1
∞ F ( s ) ds ∫s
并利用此结论计算下列各式： 并利用此结论计算下列各式： 1) f ( t ) =
sin kt ，求 F ( s ) . t
解: L ( sin kt ) =
ω s +ω2
2
ω=k
=
k , s + k2
2
∞ ∞ k sin kt L = ∫ s s 2 k 2 ds = ∫ s + t
s s d = arctan k s k 1+ k 1
2
∞ s
=
π s − arctan 2 k
2) f ( t ) =
e −3 t sin 2t ，求 F ( s ) . t
解: L ( e −3 t sin 2t ) =
2
( s + 3)
2
+4
,
∞ e −3 t sin 2t 2 π s+3 L ds = − arctan = ∫s 2 t 2 2 ( s + 3) + 4
F ( s ) = f ( t ) =
2sinht . t
证明（象函数的积分性质） 4．若 L f ( t ) = F ( s ) ，证明（象函数的积分性质）: f (t) ∞ L = ∫ s F ( s ) ds ， 或 f ( t ) = t L t
算下列各式： 算下列各式： 1） f ( t ) = te−3 t sin 2t ，求 F ( s ) . 解： L
(e
−3 t
sin 2t =
)
( s+ 3 ) + ω
2
ω
2
ω=2
=
( s+ 3 ) + 422,L te
−3 t
d sin 2t = − ds
( s+ 3 )
6) f ( t ) = 5sin 2t − 3cos 2t 解:已知 L [ sin ω t ] =
s ω , L [ cos ω t ] = 2 ,则 2 s +ω s +ω2
2
L [ 5 sin 2t − 3cos 2t ] = 5 8) f ( t ) = e −4 t cos 4t . 解: 由 L [ cos 4t ] =