n
k 1
n
f0 f [x0 , x1 , , xk ] (x xj ) f [x, x0 , x1 , , xn ] (x xj )
k 1
j0
j0
华长生制作
12
n
Nn(x) f [x, x0 , x1 , , xn ] (x xj ) j0
Nn(x) Rn(x)
因此
Rn ( x)
k!
华长生制作
Newton插值 估计误差的 重要公式
13
练习 设当xi 1,2,3,4,5时, f (xi ) 1,4,7,8,6. 求四次牛顿 插值多项式.
k xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 11
1 24 3
2 37 3
0
3 48 1
-1
-1/3
4 5 6 -2
-3/2 -1/6
1/24
N4(x) 1 (x 1) 3 (x 1)(x 2) 0
(x 1)(x 2)(x 3) ( 13) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) (214)
1
华长生制2作4
x4
9 12
x3
83 24
x2
33 12
x
1
14
2.2.3 等距节点插值公式
定义. 设f (x)在等距节点xk x0 kh处的函数值为fk , k 0,1, , n , 称
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )
j0
21
称
Nn(x0 th)
n
f0
k 1
[ k f0 k!
k 1
(t j)]
j0
为Newton向前插值公式（又称为表初公式）
如果假设
x x0 th
由差商与向前差分的关系
华长生制作
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
20
k 1
k 1
k 1
k (x) (x xj ) (x0 th x0 jh) (t j)h
j 0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
差分表
xk fk 一阶差分
x0 f0 x1 f1
f0
f1
x2 f2
f1
f2
x3 f3
f2
f3
x4 f4
f3 f4
二阶差分
2 f0
2 f2
2 f1 2 f3 2 f2 2 f4
三阶差分
3 f0
3 f3
3 f1
3 f4
四阶差分
4 f0
4 f4
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17
在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
f [ xi , xi1 ]
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2
显然，多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
线性无关，因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函数值为 fi f (xi ) , i 0,1,L , n
hi xi1 xi , i 0,1,2, , n 1
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x
)
f [x, x0 , x1 , , xn ]n1(x)
一般 Rk ( x) f [x0 , x1 , , xk 1 ]k 1(x)
kn
另外
f [x, x0 , x1 ,
, xn ]
f (n1)( )
(n 1)!
f [x0 , x1 ,
, xk ]
f (k )( )
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15
依此类推
m fk m1 fk 1 m1 fk 为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分 m fk m1 fk m1 fk 1 为f ( x)在 xk 处的m阶向后差分
可以证明
m fk m fk m
如
fk fk 1
2 fk 2 fk 2
3 fk 3 fk 3
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16
设插值多项式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
满足插值条件
P(xi ) fi , i 0,1, , n
则待定系数为
a0 f0
a1 f [x0 , x1 ]
a2 f [x0 , x1 , x2 ]
h
max i
hi
插值条件为 P(xi ) fi , i 0,1, , n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
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3
P(x)应满足插值条件 P(xi ) fi , i 0,1, , n
化为
Nn(x0
th)
f0
n k 1
[
k f0 k!hk
k 1
(t j)h]
j0
n
f0
k 1
[ k f0 k!
k 1
(t j)]
j0
其余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
化为
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Rn(x0 th)
f (n1)( )
(n 1)!
n
hn1 (t j)
an f [x0 , x1 , , xn ]
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10
定义3. 称 Nn(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 )
an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
k 1
k (x) (x xj ) j 0 为k次多项式
n
k 1
f0 f [x0 , x1 , , xk ] (x xj )
Ax b
§ 2.2.2 Newton插值法
§
a11
A
a21
2.2.3
a12 a22
等距节点插值公式
a1n a2n
xi
bi
i1
lij x j
j1
lii
an1
an2
ann
i 2,3, , n
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
(3) 当f（k )(x)在包含节点 x0 , x1 , , xk的区间存在时 ,
在x0 , x1 , , xk之间必存在一点 ,使得
f [x0 , x1 ,
, xk ]
f (k )( )
k!
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用余项的 相同证明
7
差商的计算方法(表格法):
差商表 Chashang.m
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
三阶差商 四阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
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规定函数值为零阶差商
8
例1 值
求
f(xi)=
x3在节点
x=0,
2,
3,
5,
6上的各阶差商
解: 计算得如下表
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
fi1 xi 1
fi xi
fi fi1 hh
f [xi , xi1 , xi2 ]
f [ xi , xi1 ] f [ xi1 , xi2 ] xi xi2
fi fi1 2h2
2 fi 2h2
fi1 fi2 2h2
2 , xi3 ]
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
共n+1个多项式的线性组合
那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk