f (3) f (2) f [2,4](3 2)
f [2,4,5](3 2)(3 4)
7 5(3 2)(3 4) 12
思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
牛顿插值法的特点
特点 1.计算量省，便于程序设计 2.具有承袭性的插值公式， 便于理论分析
四、牛顿插值法举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下， 试用全部节点构造牛顿差商插值多 项 式 ， 并 用 二 次 插 值 求 f(3) 的 近 似 值。
x 02 456 f(x) 1 5 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶
01 25 2 49 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5
二、差商的计算
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
x0 f(x0)
x1 f(x1) f[x0,x1]
x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2]
x3 f(x3) f[x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3]
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∶∶∶Fra bibliotek∶∶
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例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
L1(x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x)
n=2 N2 (x) f (x0 ) f [x0 , x1]( x x0 )
f [x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1)
L2 (x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x) f (x2 )l2 (x)
2.高阶差商可由低阶差商反复作一 阶差商得到，计算具有递推性
3.若f(x)在[a, b]上存在n阶导数，则
f [x0 , x1,, xn ]
f (n) ( )
, n!
[a,b]
思考题：设f(x)=x3，则
f[x0, x1, x2, x3 ]= ? ,
f[x0, x1, x2, x3, x4 ]= ? 答：1,0
注：牛顿插值只需增加一项，
拉氏插值需要重新计算！
两点说明：
1.由插值多项式的唯一性，两余项 是等价的，即
Rn ( x)
f (
(n1) (
n 1)!
)
n1
(
x
)
f [ x, x0 ,..., xn ]n1( x)
2.牛顿插值法由差商表中的差商值 可判断出插值多项式的次数，而 拉氏插值法则要计算到最后。
一般的k阶差商定义为
f [x0 , x1,..., xk ] f [ x0 ,..., xk2 , xk ] f [ x0 , x1,..., xk1]
xk xk1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
f [xi ] f (xi )
性质：
1.差商与节点的排列次序无关，称 为差商的对称性
四阶 1
由表可知
P4 ( x) 1 2( x 0) 0( x 0)( x 2) (1)( x 0)( x 2)( x 4) ( x 0)( x 2)( x 4)( x 5) x4 12 x3 44 x2 46 x 1
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得
可得 f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
又 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1 )
f [ x, x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
x 02 456 f(x) 1 5 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 四阶 01 25 2 49 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 1
由表可知 f[2,4,5,6] =5
二、牛顿差商插值多项式
由差商定义
f [x, x0]
f (x) f (x0 ) x x0
作业： 习题 7,8
代入得
f (x)
f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) ... f [x0,...xn ]( x x0 )...( x xn1) f [x, x0,...xn]( x x0 )...(x xn )
Nn ( x) Rn ( x)
牛顿插值 多项式
插值余项
牛顿插值与拉氏插值的比较： n=1 N1(x) f (x0 ) f [x0 , x1](x x0 )
§3
差 一、差商及其性质 商 二、差商的计算
与 三、牛顿插值公式
牛 顿
四、牛顿插值法举例
插
值
一、差商及其性质
1. 差商的定义
函数关于 xi, xj 一阶差商
f [xi , x j ]
f (x j ) f (xi ) x j xi
二阶差商
f [xi , x j , xk ]
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi