分析的严谨性数学大家对极限的理解与解释：柯西（1821）达朗贝尔（1754）牛顿（1687）莱布尼茨（1684）柯西：如果赋予统一变量的连续不断的一系列数值使其无限地趋向于一个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其特殊之的极限。

达朗贝尔：比值[a:2y+z]总是小于a:2y,但是z越小，这个比值就越大，并且由于人们可选取任意小的z，比值a:2y+z就可按我们希望的那样靠近比值a：2y。

因此a:2y是a:2y+z的极限。

牛顿：逐渐变小的量之间的最终比值…（是）极限，即数量比值无限减小却总是收敛于它；它们比任何事先给定的插枝更接近敌趋向于它，但永远不超过也不达到它，直到这些量减到无穷小。

莱布尼茨：如果任何一个连续变迁以一个极限为终结，那么就能够形成一种普遍的推理，他也能适用于最终的极限。

恰好生于对微积分新的理论基础怀疑的时代的柯西—－这位毕业于法国多科工艺学校的杰出数学家，在１８２１年，〈〈分析教程〉〉中首次提出微积分新的理论基础。

接着，又发表与微积分基础概念严格化密切相关的著作〈〈无穷小分析原理概要〉〉（１８２３），〈〈分析的几何应用原理〉〉（１８２６～１８２８）。

这三部著作集数学分析之大成就，奠定了以极限理论为基础的现代数学分析体系，在数学分析的发展史上建树了一座有划时代意义的里程碑。

柯西抛弃了物理和几何直观，通过交量来定义极限的概念：“如果代表某变量的一串数值无限地趋向某一固定值时，其差可以任意小，那么这个固定值就叫做这一串数值的极限。

”这个当时最清晰的定义，是数学分析算术化伊始的信号。

接着，他又定义了无穷小：“一变量的值无限大减小，以至收敛于零，则称此变量为无穷小。

”对无穷大，柯西认为是它的值可以无限地变大，以至能够超过任何给定的常量的变量。

在这里，柯西让趋于极限的，特别是趋于极限零的变量概念扮演着中心角色，从而把极限原理和无穷小量原理综合起来，并以此为基础定义了函数的连续性，导数和微分，积分。

柯西是这样来定义函数的连续性的：如果在两个界限之间（即某一区间内）变量x的无穷小增量a总史函数f(x)产生一个无穷小增量f(x+a)-f(x),则称函数f(x)在这两个界限之间连续。

柯西关于一区间上连续函数的定义，使用了定义于极限概念基础上的无穷小，因而较之旧的定义既有更规格逻辑依据又有精确的数字形式。

令人不解的是，柯西只定义了变量的极限，而没有定义函数的极限。

联系他把具有性质的函数f（α）当作无穷小量来处理，意味着函数也被认为是变量。

柯西在《无穷小分析原理概要》（以下简称《概要》）和《分析的几何应用原理》中，给出了字句完好相同的导数定义，定义中Δy/Δx的分子和分母都作为无穷小量，并且Δy/和Δx“同时无限的趋于零极限”，面Δx可能是正或负地趋于零。

这与1799年捷克的意大利数学家波尔察诺所给出的导数定义完全一致。

在导数基础上，他又定义了微分：设立独立变量x的微分dx为一有限常数，则函数y=f(x)的微分或。

导数可称为微分系数，他把y=f(x)的n阶段分定义为。

他还把一个变量的函数的微分定义推广到任何有限个变量的情形，即得出了通过偏导数来定义多无函数的微分（全微分）。

柯西关于微分的定义确实具有独创精神，它彻底颠倒了以往把微分作为第一性概念通过微分定义导数的传统方法。

柯西（还有拉克鲁阿）的工作把导数和莱不尼兹的微分统一起来，把求微分的问题归结为求导数的问题。

虽然柯西已经把连续性导数的概念严密化提高到了相当的程度，但是他和同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微性的区别，最早明确地给出区别连续性与可微性的例子，出现在德国大科学家黎曼1854的论文《用三角级数来表示函数的可表示性》之中。

通过求微元之和来求积的（自古希腊以来就萌芽的）传统思想，虽为莱布尼兹所强调，但从牛顿开始的视求积问题为求切线的逆问题的思想占了主导地位（当然，这也是本质的方法）。

柯西又使这种情况发生了逆转，他强调把积分定义为和的极限来取代把分看作是微分的逆运算，从而使积分作为微元和的思想得到继承和发展。

在《概要》中，柯西对定积分作了系统的描述。

他首先从极限概念出发定义了连续函数的定积分：设f(x)在区间上连接，且用分点Ｘ1,Ｘ2 ，…, Ｘn-1，Ｘn = Ｘ将区间分割，则当最大子区间的长度趋于零时，积分为接着柯西定义了,且证明了F(x)在区间上连接。

他还用积分中植定理第一个证明了微积分学定理：。

柯西强调指出，在使用定积分和函数之前，要注意确定定积分以及间接地确定反导数或原函数的存在性是首要的问题。

他证明了f(x)的全体原函数彼此相差一个常数，进而给出了不定积分的定义：他还定义了具有跳跃间断或为无穷时的被记函数的积分。

柯西在《分析教程》中对级数收敛性第一个作了广泛的论述：“令是所研究的无穷级数前n表示自然数。

如果对于不断增加的n的值，和Ｓn无限趋近某一极限Ｓ，则级数叫收敛的，而这个极限值叫做该级数的和。

反之，如果当n无限增加时，Ｓn不趋于一个固定的极限，该级数就叫发散的，而且级数没有和。

”在此基础上，柯西给出了著名的关于无穷级数的“柯西收敛判别准则”和比值判法、根式判别法、比较判别法和对数判别法；证明了两个收敛级数之和收敛到各自极限的和对于乘积也有类似结果；对于带有负项的级数，证明了由项的绝对值构成的级数收敛时原级数收敛，并推导了交错级数的莱布尼兹判别法；研究了项是复变函数的级数。

这样，柯西首次建立了泰勒级数收敛的精确条件，引进了收敛半径概念，从而给出ξｉ了收敛级数理论的明确构造，发展了无穷级数收敛学说。

它将18世纪混淆在一起的连续性、可微性、可微性、泰勒级数展式等从函数的一般概念中分离出来。

不足的是，在对数学分析的探讨中，柯西不愿意把函数概念作为变量概念的基础，而用含有变量概念的语言来定义函数。

因而他仍未得到函数概念的现代定义。

一般的函数定义，首先由德国数学家狄里克雷在1829年提出；现代数学分析的函数定义是由黎曼给出的。

柯西极限概念的严密化还是不够的，还常用“想要多么小就多么小”、“无限趋近”“无穷小增量的最终比”等含义不甚明确的语言。

他一方面排除了无穷小的形而上学的绝对存在而在某些情况下又把无穷小量当做某种独立的量使用而参加运算，因而并未完全用极限大代替无穷小，他认为他的“宗旨是要使在《分析教程》中建立的定理的严格性与直接考虑无穷小而导致的简明性二者协调起来。

”他虽然偶而也用方法作证明，但他并没有将它作为一种根本的方法来定义数学分析中一系列重要概念（如极限、连续、导数、积分等），Σ－δ方法真正的明确和完成属于后来的德国数学家维尔斯特拉斯。

柯西虽然对定积分作了系统的开创性工作，指出了可积性问题，把连续函数的和式极限作为定积分定义一致连续性，其证明是不严密的。

他曾断言：如果连续，且收敛，则F(x)也连续且可逐项积分：他甚至断言，对于连续函数有:.他还确认多元函数若对每个变量连续则它必是连续的，等等。

挪威青年数学家阿贝尔１８２６年的工作修正了柯西关于连续函数的一个收敛级数的和一定连续的错误结论。

阿贝尔对连续函数进行了研究，发现连续函数级数之和并不是一定连续（例如每一项均连续，但当Ｘ=(2ｎ＋１)∏而ｎ为整数时上式并不连续），他用一致收敛思想证明连续函数的一致收敛的级数之和才在收敛区间内部连续。

但阿贝尔并未单独提出一致收敛概念。

直到二十年后，才由英国数学家斯托克斯和德国数学家塞德尔提出。

因此，在柯西时代，对一致收敛性、连续性、一致连续性可微性、可积性以及它们的关系，都还不甚明确。

用现代标准衡量，柯西的严密化程度还不够。

由上可知，柯西在数学分析的历史上，不是一个和传统决裂、根据旧基础而建立新基础的彻底革新者，而是一个承先起后、继往开来的大师。

但他在分析严格化中占有十分重要的地位，他的理论一直保持到１９世纪末。

直到半个世纪以后，当集合论和实数理论发展起来时，才有必要重新修订这些原理而建立更严密的定义。

十九世纪的分析在1858年秋，苏黎世理工专科学校的教授理查德·戴德金被安排去作关于微分运算原理的讲座，这是以前还没有人讲过的内容．尽管在初等教程中所采用的对一些基本概念的传统几何方法具有教学上的价值，在准备这些讲座时，他认定微积分中那些与函数极限有关的部分仍然没有“科学的”基础．因此他决定集中精力去对实数概念的算术定义建立一个基础．1858年11月24日，戴德金达到了他的目标，之后很快便将他的结果告诉了一个朋友和他的一些最好的学生．但是因为他觉得他的表述还不是完全自如的，故而在1872年之前他并没有发表他的“戴德金分割”思想．在18世纪末，随着法国大革命重建整个欧州大陆数学教育的浪潮，并随着数学家不断增长的对教学的而非研究的需要，便产生了对应该如何把数学思想讲述给学生的不断增加的关切，随之而来的是对“严格性”的不断增长的关切．回想一下拉格朗日曾试图把所有微积分建立在幂级数概念的基础之上．虽然像其他一些人一样，拉克鲁瓦(Lacroix)运用拉格朗日的方法写了一本微积分的教程，但不久就发现并非所有的函数都可以用这种级数来表示．奥古斯汀·路易斯·柯西，这位19世纪最多产的数学家，首先把微积分建立在极限概念的基础上，这极类似于今天的情形．虽说在很久以前，甚至于牛顿就已经讨论过极限的概念，柯西却是第一个把趋向于一个特定值的函数这一有点模糊的概念转换成了算术语句的人，人们用它证明了极限的存在．柯西用他的极限概念来定义连续性(指的是现代意义上的连续性)和序列的收敛性，这里所说的序列既是数字的也是函数的．柯西的收敛概念发表于1821年，但实质上早在1817年和1782年就已分别由捷克数学家伯恩哈德·波尔查诺和葡萄牙数学家库尼亚(Jos éAnastf áicio daCunha)阐述过．可惜后两人的著作出现在欧洲的偏远角落，没有引起法国和德国数学中心的重视，甚至连读都没有读到过．因此现今概念和发展源于柯西的工作．柯西的一个重要结果是说，一个连续函数的无穷级数，如果它的和存在，则此和函数是连续的；但这个结论是错误的．反例早在1826年就发现了，它是现在被称为傅里叶级数的与正弦和余弦函数有关的级数．虽然在18世纪中叶丹尼尔·伯努利曾简要地考虑过这些级数，但第一次详尽它的人地研究却是约瑟夫·傅里叶，它出现在19世纪初期他的关于热传导的著作中．傅里叶的工作激发了P．L．狄利克雷去更详细地研究函数的概念，也激发了B ·黎曼去发展现今称作黎曼积分的概念．柯西和波尔查诺工作中的一些没有解决的问题以及由柯西的错误定理中产生的不连续点的研究使得许多数学家在世纪后半叶去考虑实数系统的结构．特别地，戴德金和康托尔各自发展出一套由有理数出发去构造实数的方法，从而开始了对无限集合的详细研究．在他的微积分教程中，柯西把积分定义为一种和的极限而不像18世纪流行的那样，把它定义为反导数．1840年他把这个积分概念推广到复数区域上，发展出了许多今天在复变函数初级教程中出现的重要概念，其中包括了留数的思想．这些思想在后来数十年中由黎曼进一步发展和推广了．因为在复区域上的积分可以想像成在实二维平面上的积分，柯西也就能给出今天的格林定理，它把沿一条闭曲线上的积分与此曲线所包围的区域上的二重积分联系起来了．把区域上的一个积分与在此区域边界上的积分联系起来的类似定理是由米哈依尔·奥斯特罗格拉茨基和威廉·汤姆逊发现的．这些定理现在被称作散度定理和斯托克斯定理，它们很快便被应用到物理学中如电磁学这样的领域．黎曼积分的建立在柯西对定积分系统的开创性工作的基础上，德国大数学家黎曼研究了更不规则的函数的积分，考虑了减弱条件的情形下傅里叶系数的积分公式仍然成立的可积性部件。