x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc 2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
ln a
(14) sh xdx ch x C
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证
明2 e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
例10
1 et2 dt
求
lim
x0
cos x
x2
.
解 d 1 et2dt d cos x et2dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
1 et2 dt
lim
x0
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
x
或 arccot x C
(5)
dx 1 x2
arcsin x C
或
arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
例11. 求 d x .
x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x341
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数.
1dx. x
ln |
x
|
1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例4 1 cos2x dx 2 | cos x | dx
0
0
2 0
2 cos xdx
2 cos xdx
2
2 [sin x]02 2 [sin x] 2 2
2
例5 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
x2 1
dx
解: d d x21 f (t)dt f ( x2 1) 2 x dx dx b
总结：变限积分求导:
d
(x)
f (t)dt
f [( x)]( x)
dx a
d
dx
(x)
f (t)d t
(x)
d dx
a (x)
f (t)d t
(x)
a
f (t)d t
f [( x)]( x) f [ ( x)] ( x)
dt,求
dy dx
.
sin x
例7 y x2 sintdt,求 dy . sin x2 2x
0
dx
例8 y arcsinx (sint )2 dt,求 dy .
0
dx
y uv x
dy sin2( arcsin x )
1
1
dx
2 arcsin x 1 x2
例9( x) b f (t)dt,求 d .
例13 求 2x (e x 5)dx .
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x ln(2e) ln 2
C
2x
ex ln 2 1
5 ln 2
C
例14 求
1 x x x (1 x2
2
)
dx
.
解: 原式 =
xx
( x x) a f (t)dt
y
( x)
o a x x x b x
推论2.1 若f ( x)C[a, b], 则f ( x)有原函数
x
f (t)dt.
a
推论2.1的意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
例6 y x 0
sint
1. 积分上限的函数
则变上限的定积分
x
( x) a f (t)d t,
是上限x的函数 .
x [a,b]
x
( x) a f (t)dt
变上限定积分
2. 变上限定积分对积分上限x的导数.
定理2.2 (微积分第一基本定理)
由( x)
x
f (t)dt
a
证 x [a, b], 取x 0,
使得x x [a, b].
解 闭 区 间 上 具 有 有 限 个 间断 点 的 有 界 函 数 可 积.
y
2 f ( x)dx存在. 0
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
o
原式
1
2xdx
0
2
5dx
1
[ x 2 ]10
[5 x]12
6
1 2x
问: f(x)什么时候存在原函数？如何求原函数？
二、微积分基本定理
2 lim
sin 3
f
( )
2 lim 3 f ( ) 6.
例8
比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
于是
2 e xdx
回答: 如何求f(x)的全部原函数?
定理 2.3 (微积分第二基本定理)
则 F C 就是 f 在 I 上的所
证明： 设
三、不定积分
1.定义
2.不定积分与微分的关系
互逆
3 基本积分表 (P186)
(1) kdx kx C ( k 为常数)
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
例 7 设 f ( x)可导，且 lim f ( x) 1， x
求 lim
x2
t
sin
3
f
(t )dt
.
x x
t
解 由积分中值定理知有 [ x, x 2],
使
x2 t sin x
3 t
f
(t )dt
sin 3 f ()( x 2 x),
lim x2 t sin
x x
3 t
f
(t )dt
定理2.1(Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
例2
求
2 0
(2
cos
x
sin
x
1)dx
.解原式2Fra bibliotekinx
cos
x
x2 0
3. 2
例3
求
1 2