7、微积分基本定理
一、选择题
1.⎠⎛0
1(x 2
＋2x )d x 等于( )
A.13
B.23 C ．1 D.43 2．∫2π
π(sin x －cos x )d x 等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2
0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( )
A ．4
B ．2 C.5
2 D ．3
5．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.323 D.35
3
6.⎠⎛0
3|x 2－4|d x ＝( )
A.213
B.223
C.233
D.25
3 7．⎠⎛241
x
d x 等于( )
A ．－2ln2
B ．2ln2
C ．－ln2
D ．ln2 8．若⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2
，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7
12
10．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
0≤x <12－x
1<x ≤2
，则⎠⎛0
2f (x )d x 等于( )
A.34
B.45
C.5
6 D ．不存在
[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2
d x ＋⎠⎛1
2(2－x )d x ，
二、填空题
11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．
13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5
4π，y ＝0所围图形的面积为________．
14．若a ＝⎠⎛02x 2
d x ，b ＝⎠⎛02x 3
d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．
三、解答题 15．求下列定积分：
①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ； ②
sin 2
x
2
d x .
17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛0
1(2ax 2
－a 2
x )d x ，求f (a )的最大值；
(2)已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c
的值．
DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2
2
[解析] 所求面积为
＝1＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－22＝4－22. 14.[答案] c <a <b 三、解答题
15．①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ；②
sin 2
x
2
d x .
[解析] ①⎠⎛02(3x 2
＋4x 3
)d x ＝⎠⎛023x 2
d x ＋⎠⎛0
24x 3
d x ＝x 3
| 2
0＋x 4
| 2
0＝24.
＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－1
2
(1－0)＝π－24. 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积．
[解析] 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋3
y ＝x 2
得x 1＝－1，x 2＝3，则所求图形的面积为
＝(x 2
＋3x )| 3－1－13x 3| 3－1＝323
.
18.(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，所以⎠
⎛0
1(2ax 2－a 2
x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2| 10＝23a －12a 2.所以
f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29.所以当a ＝23时，f (a )有最大值2
9
.
(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2
b ＝0 ①而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2
＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c .∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－
2②
解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。