下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题，它出自于黄宗宪的“求一术通解”：求一数，五除余零，七百十五除余十，二百四十七除余一百四十，三百九十一除余二百四十五，一百八十七除余一百零九。

仔细读题后发现：5除余0是废话，247除余140，余数是5的倍数，原数是5的倍数，因此这句话可变为247×5=1235除余140，同样第四句话可变为391×5=1955除余245。

现在从1955除余245，1235除余140出发：245，245+1955=2200，4155，6110，8065，10020←秦王暗点兵的兵数 245， 965， 450， 1170， 655， 140，第二行是第一行除以1235的余数。

依次试除，发现10020即为所求之数。

请用上述方法解决问题1（杨辉《续古摘奇算法》）：二除余一，五除余二，七除余三，九除余四，问本数。

更深入研究将会联系到中国古代数学中的孙子定理和刘徽的大衍求一术，数学史家称为中国剩余定理。

孙子定理与刘徽大衍求一术设n m m m ,...,,21是两两互质的正整数，n r r r ,...,,21都是正整数，解一次同余式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡)(mod ....)(mod )(mod 2211n n m r x m r x m r x 令n n n M m M m M m m m m M ====...,...221121，如果有)(mod 1i i i m k M ≡ 那么)(mod 1M r M k x i i ni i ∑=≡。

刘徽创立了“大衍求一术”专门求i k ：由1),(=i i M m ，找i i k s ,使)(mod 11i i i i i i m k M k M s m ≡⇒=+，于是i k 即为所求。

例如解⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 1)7(mod 1x x x定数 987贾宪三角形的有趣性质：我们从贾宪三角形中可以看出 ：（1）()n a b +的展开式共有n+1项；（2）在()n a b +的展开式中，与首末两端等远的项的系数相等；（3）如果()n a b +的幂指数n 是偶数，展开式中间一项最大，n 是奇数时，中间两项相同且最大；（4）贾宪三角形第三条斜线1，3，6，10…即三角形数中任意相邻二数之和为平方数；（5）斜数第三列诸数的平方也恰好是前333333331,12,123,1234,...++++++；（6）斜数第四条斜线上诸数1，4，10，20，35，…即四面体数中相邻两数之和1+4，4+10，10+20，…恰好为2222322212,123,123,....+++++；(7)如果p 为质数，则第p 行的数可以被p 整除（两端的1除外）；（8）把虚线上的数相加可以得到Fibonacci 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…；（9）第2，4，8，……行的所有数字都是奇数。

贾宪三角形与组合恒等式：由于贾宪三角形的第n+1行各数的和为2n ，因而有n nn n n C C C 2...10=+++ ；由于贾宪三角形中每个数等于它头上的两个数之和，因而有11-++=r n r n r n C C C ；由于同一斜线上各数的和等于最下面一个数右下角的数，因此有11+-=-=∑n m nm k n k m C C 。

贾宪三角形的几何特性：隐藏在贾宪三角形中的几何性质更是令人拍案叫绝，这是波兰数学家Waclaw Sierpinski （1882-1969）三角形带给我们的享受，这是最有意义的分形图之一。

画一个三角形，把它的三条边的中点相连，得到一个与原三角形相似的三角形，把这个三角形移走，留下3个小三角形，其边长是原三角形的一半，从这三个三角形中再移走三个更小的三角形，这样就得到了9个边长为原三角形的四分之一的小三角形。

从理论上讲，这一过程可以无限进行下去，产生了一个越来越空的和自相似的图形，它不是直线即它不是一维的，也没有面积即它不是二维的，介于一维到二维之间。

我国古代数学著作《孙子算经》中有一道著名的“鸡兔同笼问题：鸡兔同笼，总体一数，有头30，脚72，问鸡兔数。

小学算术大全中给出了公式解法：鸡数=（头数×4-脚数）÷2，兔数=脚数÷2-头数。

学生不知这些公式怎样得来，一律死记公式。

现在我们给出算术妙解1：设想把鸡变为兔，看看发生了什么，一个换一个，每换一次，头数不变，脚却增加2个，即头数仍为30，脚数为120，增加了120-72=48只脚，可见换了48 ÷2=24次，即换了24只鸡。

算术总式的产生过程为24=48 ÷2 （48何来？）=（120-72）÷2 （120何来？）=（30 ×4-72）÷2 即鸡数=（头数×4-脚数）÷2。

反过来，如果把兔换为鸡，则得算术总式6=12 ÷2=（72-60）÷2=（72-30 ×2）÷2，即兔数=脚数÷2-头数。

算术妙解2：设想鸡兔受过专门的训练，主人一声令，鸡兔排成一行，主人一挥手，鸡单脚站立，兔双脚直立，此时，头数30，脚数36=72 ÷2，主人一声喝，鸡腾空飞去，兔单脚站立，此时，立地脚数为6=36-30。

于是有算术总式6=36-30=72 ÷2-30即兔数=脚数÷2-头数。

问题3：钞票一叠，五元十元，笼统一数，张数23，总额195元，各有几张•今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？答：鸡二十三，兔一十二。

术曰：上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七，以少减多，再命之。

上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。

又术曰：上置头，下置足，以头除足，以足除头，即得。

若从现在的观点看，孙子在解决这个问题时，很可能利用了方程。

设鸡兔数分别为x,y，则•“上置头” x+y=A x+y=A•“下置足” 2x+4y=B 半其足x+2y=B/2•“以头除足”y=B/2-A(兔）, “以足除头”x=A-y（鸡）•结合我国古算题多用筹算的特点：•头35 35 35 23 鸡•足94 半其足47 以头除足12 以足除头12 兔•代数解法：设想问题已解，未知存在且已求出，因此可用字母表示，并与已知同等看待，一起塞入方程之中！设鸡、兔分别有x,y只，头数、脚数分别为a,b。

接着搞翻译：“有头a”译为x+y=a,”有脚b”译为2x+4y=b，于是得到x=(4a-b)÷2,y=(b-2a) ÷2。

由此可见代数法解应用题有代数设想、代数翻译和解代的问题是否成立，或从横、纵、竖三个方向把它分成n层，使每层n个方块中的n个数之和相等或使每层n个方块中相邻四块里的四个数之和相等的问题，肯定或否定它们并非易事。

同时，探讨n阶幻方与n阶不全四角问题之间的某种联系也同样有意义！纵横图所涉及的数字是如此的简单，三岁孩童也可以局部解决的问题，然而我们每个人都不能得心应手地解决它，由此说明数具有无穷的魅力。

五、东家流水入西邻•说到二进制，人们马上会把它与现代电子计算机科学联系起来，因为二进制数是电子计算机的运算基础，这种独特的运算方法却发源于中华沃土。

相传商纣王暴虐无道，将周族领袖姬昌（文王）无辜拘禁。

姬昌忍辱负重，壮心不已，潜心推演出著名的经书《周易》，这部书在编排标题时巧妙地用符号“—”和“——”进行组合，即每次取出两个符号排列构成“四象”，每次取出三个排列构成“八卦”。

取出六个就组成了全书的六十四个“卦辞”标题。

其实，这种编排已经包含了“二进制”的原理和“排列”等数学知识。

但多年来，《周易》那深奥的内容困惑了无数仁人志士，这些数学原理的内涵，也落入江湖术士之手，布下了层层迷雾。

时至公元17世纪，一位叫鲍威特的德国传教士，把《周易》和两幅术士们绘制的“易图”带到德国，后来传到德国数学大师莱布尼兹的手上，引起了他的极大兴趣，他虽然对中文不通晓，但那种神秘的“八卦”和由此推演的“易图”已使这位数学大师浮想联翩，多么美妙啊！•在莱布尼兹的冥思苦想下，一种新的数系就产生了：把《周易》中的“—”记作1，把“——”记作0，再按照逢二进一的法则，也就能够用二进制数表示《周易》的全部标题了。

在此基础上，莱布尼兹开始了完善“二进制体系”的工作，1703年，他发表了“谈二进制算术”一文，列举了二进制加减乘除运算的例子，从而确立了二进制学说！伴随着时光的飞逝，二进制学说已逐渐由数学的“古玩”变成了现代科技的基础。

然而，今天，仍有许多江湖骗子用这种简单的知识来愚弄民众！作为数学教师有责任用我们的知识来抵制这种行为。

•猜年龄游戏：一位教师手里拿着五张数学图表，请同学们看，如果一个学生告诉老师，在哪几张图表上有他的年龄，那么老师就能正确地说出他的年龄。

比如说，有位学生说在图表2，5中有他的年龄数，这时老师就能知道他的年龄为18。

减、乘除和开平方运算，因此有尺规能作出的量的充分必要条件是系数的四则运算和开平方。

对于三等分角问题：由于,cos 3cos 43cos 3θθθ-=取 60=θ， 20cos =y ，则01683=--y y ，则该方程在有理数域上无解，若这个三次方程在扩域上有解，则该扩域一定是三次扩域而不可能是二次扩域，因此 60的角是三等分不可能作图的。

对于倍立方问题：取已知立方体的边长为单位，令x 为所求立方体的边长，则有023=-x ，这也是一个无有理数解的三次方程，他的解的扩域是三次扩域，因此不能用尺规作图。

对于化圆为方问题：设r 为已知圆的半径，x 为所求正方形的边长，则问题相当于解方程022=-r x π，它是一个二次方程，由于2r π不是代数数，于是方程的系数本身都不能用尺规作出，因此化圆为方问题是尺规作图不能问题。

5 透视几何与古典作图问题。

（1）交比的应用 （2）德沙格定理（3）梅尼劳斯定理与塞瓦定理（4）帕斯卡定理：若一个六边形内接于一条圆锥曲线，则这个六边形的三双对边的交点在一条直线上。

（该直线称为帕斯卡线）（5）布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。

（6）帕卜斯定理与九树十行问题6 欧几里得第五公设的试证与非欧几何的产生。

欧几里得《几何原本》中的第五公设为：若两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同侧内角之和小于二直角，则这两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

古希腊数学家托列密依赖一个假定“过已知直线外一点可且可以作一条直线与已知直线平行”而完成了证明。

但该假定与第五公设等价。

意大利数学家萨开里利用萨开里四角形来证明第五公设，。