浅论闭区间上连续函数的性质中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出•本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证•在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一•般初等函数來说都是成立的•而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/©））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来•直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明.先看何谓闭区间上的连续函数•连续的定义首先是点连续的定义.称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）,2X（）B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,» > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,» > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < £• 称f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| <若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合•而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.1.闭区间连续函数在其定义域上有界.闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线，可以想象这条曲线不可能纵向3轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.若函数在某点冇极限，则在某点附近有界，而连续函数每点的极限都存在，因而在每点的附近都有界.只耍用有限覆盖定理，就可以知道只需耍有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖•因而函数在其定义域上也是有界的.现在来证明定义丁仏,切的连续函数广⑴在上有界.证明：/(兀)G C［a, b］ => Vx\lim /(x) = f (%')故m兀，当X w U(*，C J c［Q,b］口寸,|/(x)| < > 0又E =Q(#,”)|x* ［a,b］提［a,b］的一个覆盖.由有限覆盖定理知,E,(i = 1,2,・・・,刃)，使得［讹］uUua,%)・;=1取M = max{M“,％・•・％},则有|/(兀)| < M*x e ［a,b］.于是/(x)在［心］上有界证完.若命题条件改为开区间，有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明使进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的•而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在，可以同样推出函数在闭区间上冇界.闭区间上的连续函数有界，由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值，分别对应于上下确界.2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.已经证明了上下确界的存在•只需耍证明函数能够取到上下确界的值.(x = c)/(c) - £ 证明：设函数r （x ）的上确界为M ,由确界的性质可知，对6 =丄,都存在X”使M -丄< /（xj <M,n n又r” e [a,b],存在子列％ }，使S T c w [a,b],伙 T +oo ）. 故有 M-—< f{x n ） < M,5 k两边令£ -> +oo 取极限，有了（5 ） -> M,又6 T c\\] Heine 定理及/⑴的连续性可得广（c ） = M.最小值情况证明类似•证完.分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知limf （x ） = /（c ）,这是连续函数的定义，也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就 是以此为依拯的•而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间0"]里面.因 为在Q v x 腻.v b 两边取极限，可能得到c = a 或c = b,总之c 《（G,b ）.即使是一个有界的函数，只要不是闭区间上的连续函数，都不能保证能在定 义域上取得最借.可以想象将闭区间连续函数的图像的最人值点向下移动一•段距 离,得到一个有界的不连续函数gd ） =（X ° ° （£ > 0）的图像（不妨h （x ） = x 2（0<x<l ）,虽然在定义域上有界，但都不能够取得最值.3. 连续函数介值定理.这是一条重要的性质•连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值，称 之为介值•从育观上看来，这是显然的•一条连续变化的曲线必会在某个吋刻经过 介值点•若连续函数的取值可止可负，那么此函数必定存在零点，称Z 为零点定理. 而介值立理是零点疋理的直接推论，只需在原函数加减一个常数即可•下面给岀 用到确界定理的证明.设/（兀）有且只有一个最大值点），那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.-X 1零点定理：若f(x) E C[G,b],若/Xd) < 0, f(b) > 0,则必存在g e (G,b),使得/£) = 0. 证明:记集合E = {XG [a,列/(兀)>o},易知E 丰0, 由于E 有下界Q,故必有下确界，记为歹二inf E, 故Vx G [Q,g),/(X )< 0.叨边取极限X T 歹一,由于/(兀)e C[Q,b],有/(g) < 0. 因此§电E,故可在自选取数列&”},使X” -> g® T 00).在/'(兀”)> 0两边取极限有/⑷> 0.故/、⑷=0证完.可以同样构造一个这样的集合E,用反证法来证明，如下： 往证/⑷=0•若/Xg) > 0,有介E, R/(x) G C[a,b],故” > 0,使Vx G UD 吋旬(0 > 0.取0 <夕< 5,旬Q —夕)> 0,与$ = inf E 孑盾. 若/© < 0.必”]> 0,使V 兀G )吋有/'⑴< 0. 取勺 < ①,不存在兀e E 使工v § -勺.与"inf E 孑盾即/(§) = 0证完两个证明除了用到确界定理外几乎没有用到其它性质，譬如第二个证明，只 是用到函数极限的保号性•这根本在于用确界眾理给出了数集的下确界乙・确界泄 理是函数连续性的一个刻画，而介值性的结论可以由连续性从直观上得到，只要 给出了连续性一个理论上的刻画，余下的证明就像从直观上得到一般简单•但不 连续的函数，就未必具有介值性•至于闭区间的条件并没有用到，原因是任何一个 连续函数都可以截出某一个闭区间，在这个闭区间上讨论介值的问题•在这里自 然引出一个问题，具有介值性，即其值域为连续系的函数是否连续?如果不连续, 要补充什么条件才能保证函数连续？如下面一个处处不连续的函数，其值域是[-1,1].这说明具有介值性的函数不•定连续.兀是有理数，月必工(),1X 是无理数 x = 0 X = 1只要加强条件，令函数在定义域上单调，就一定有函数连续•有以下命题:若函数y = /(x)定义在|[°#]上,/(兀)G [力,甸,且02 e [A 9B],3X G [询好⑴=A 刃⑴在[a,b]上单调，则f(x) e C[aM这个命题的正确性在直观上很显然•证明也只需耍简单的说明•用反证法，设 函数不连续.由于单调函数只能有第一类间断点，并且间断点的取值要么是左极 限,要么是右极限.那么只要通过极限保号性，说明函数不能取得间断点左极限和右极限Z间的值便可.有界性，最值定理和介値定理合起来，说明了闭区间上的连续函数其值域也是闭区间，并且函数值能够取遍值域.用映射的语言来说，连续映射/：XT/(X)把0"］映射成反过来，这个命题说明了闭区间连续函数的这三条性质.4.闭区间上的连续函数必定一致连续.先给出一致连续的定义：称/G)在区间/上一致连续，如呆/'⑴在区间/上有定义则对任意£ > 0,都存在5 > 0,使对任意才，兀上厶只要当忖-刃| <耐，都有|/(*)-/(*')| < &一致连续的直观意义，就是函数的图像不会在很小的区间内变化任意大，图像每处切线的斜率不至于任意大•规定一个因变量的变化幅度，则自变量对应的变化幅度不能任意小.由于一致连续的函数必定连续，故闭区间上的函数，连续跟一致连续是等价的•下而给出闭区间上的连续函数必定一致连续的证明:（Cantor定理）已知/（兀）e C[a,b],证明/（兀）在[a,b]一致连续.证明:/（x）在兀=Q右连续，故〉0,羽〉0, V*,** 0卫+ 5） u [讪,此时便有兀'一亡V力，且/（X，）-/（X M） <£•令E={XG（67,A]3^V X\X M G[67,X],只要疋-疋V 5,便有/（r）-/（x M） <4由上述论证知a 4- 8a {8a < 5） e E.故E H 0.又Vx e E,都有x < b.故加=sup£ e [a,b]. 要注意到，对不同的&E是不同的，现在只针对某一个E进行讨论.因/（X）在兀=Q连续（若a = b,则左连续），对上述£,3S a > 0, W,兀上（a -心,⑵u [a,b], 有|八甸v氏，且|/E）_/X）|v£.由上确界的定义知-戈，⑵，且羽妙>0,V X\X M G归,0],只要|*-甸 < %有|/（才）-/（疋）| < &取5 = min（/#,0-a + 5a）,则色‘用‘引⑦⑵’只要|x‘-科< 3,或者兀段飞[彳0]咸者心，⑵,无论如何，都有|/（疋）-/（*'）|<£・这就说明了对每一个£所确定的= supE G E.往证每一个E的上确界。