§2 闭区间上连续函数性质的证明教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。

重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。

教学方法：讲练结合。

在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{}b a x x U H x ,);(∈''='δ,显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim 。

由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令()],[,)(1b a x x f M x g ∈-=易见g 在[]b a ,连续,故g 在[]b a ,有上界.设G 是g 的一个上界,则()],[,)(10b a x x f M x g ∈-=<从而推得()],[,1b a x GM x f ∈-≤ 但这与M 为[]()b a f ,的上确界矛盾.故必存在[]b a ,∈ξ,使()M f =ξ,即f 在[]b a ,上有最大值,同理可证f 在[]b a ,上有最小值.介值性定理 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()()b f a f ≠.若μ为介于()()b f a f 与之间的任何实数,则存在()b a x ,0∈，使得()μ=0x f证[证法一](应用确界原理) 不妨设 ()()b f a f <<μ．令 ()x g = ()μ-x f ，则g 也是 []b a ,上的连续函数，且(),0<a g ().0>b g 于是定理的结论转化为：存在()b a x ,0∈，使得()00=x g ．这个简化的情形称为根的存在性定理．记()[]{}b a x x g ,,0∈>=E ．显然E 为非空有界数集([]b a ,⊂E 且E ∈b )，故由确界原理，E 有下确界，记E =inf 0x ．因()()0,0><b g a g ，由连续函数的局部保号性，存在0>δ，使得在[)δ+a a ,内()0<x g ，在(]b b ,δ-内()0>x g ，由此易见b x a x ≠≠00,，即()b a x ,0∈．下证()00=x g ．倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ，则又由局部保号性，存在()()()b a x U ,;0⊂η，使在其内()0>x g ，特别有E ∈-⇒>⎪⎭⎫⎝⎛-20200ηηx x g ．但这与E =inf 0x 正相矛盾，故必有()00=x g ．[证法二](应用区间套定理) 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理，即若函数g 在[]b a ,上连续，()()0,0><b g a g ，则存在()b a x ,0∈，使得()00=x g ．将[]b a ,等分为两个子区间[]c a ,与[]c b ,．若()0=c g ，则c 即为所求；若()0≠c g ，则当()0>c g 时记[][]c a b a ,,11=，当()0<c g 时记[][]b c b a ,,11=。

于是有()()0,011><b g a g ，且[][]()a b ab b a b a -=-⊂21,,,1111． 再从区间[]11,b a 出发，重复上述过程，得到：或者在[]11,b a 的中点1c 上有()01=c g ，或者有闭区间[]22,b a ，满足()()0,022><b g a g ，且[][]()a b a b b a b a -=-⊂222112221,,, 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： (1) 在某一区间的中点i c 上有()0=i c g ，则i c 即为所求；(2) 在任一区间的中点i c 上均有()0≠i c g ，则得到闭区间列[]{},,n n b a 满足()()0,0><n n b g a g ，且[][]() ,2,1,21,,,11=-=-⊂++n a b a b b a b a n n n n n n n . 由区间套定理，存在点[].,2,1,,0 =∈n b a x n n 下证．()00=x g ，倘若()00≠x g ，不妨设()00>x g ，则由局部保号性，存在(),;0δx U 使在其内有()0>x g ．而由定理7.1的推论，当n 充分大时有[]()δ;,0x U b a n n ⊂，因而有()0>n a g ．但这与[]n n b a ,选取时应满足的()0<n a g 相矛盾，故必有()00=x g一致连续性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上一致连续．证[证法一](应用有限覆盖定理) 由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对每一点[]b a x ,∈，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有 ()()2ε<-'x f x f . (2)考虑开区间集合 []⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=H b a x x U x ,2,δ显然H 是[]b a ,的一个开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛=H k i x U i i ,,2,12,*δ 覆盖了[]b a ,．记02min 1>⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤i k i δδ 对任何x ',[]b a x ,∈'',δ<''-'x x ,x '必属于*H 中某开区间,设⎪⎭⎫⎝⎛∈'2;i i x U x δ即2i i x x δ<-'.此时有i iiii i x x x x x x δδδδδ=+≤+<-'+'-''≤-''222故由(2)式同时有()()2ε<-'i x f x f 和 ()()2ε<-''i x f x f由此得()()ε<''-'x f x f .所以f 在[]b a ,上一致连续.[证法二](应用致密性定理) 用反证法.倘若f 在[]b a ,上不一致连续,则存在某00>ε,对任何0>δ,都存在相应的两点x ',[]b a x ,∈'',尽管δ<''-'x x ,但有()()0ε≥''-'x f x f . 令n1=δ (n 为正整数)，与它相应的两点记为[]b a x x n n,,∈'''，尽管n x x 1<''-',但有 ()()0ε≥''-'n nx f x f . (3) 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}[]b a x n ,⊂''．由致密性定理，存在{}n x '的收敛子列{}k n x '，设[]()∞→∈→'k b a x x k n,0．同时由 ()∞→→-'+'-''≤-''⇒<''-'k x x x x x x n x x k k k k k k n n n nkn n0100又得()∞→→''k x x k n0。

最后，由(3)式有 ()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 在上式中令 +∞→k ，由 f 的连续性及数列极限的保不等式性，得到()()∞→=-=k x f x f l i m 000()()0ε≥''-'k k n nx f x f ， 这与00>ε相矛盾．所以f 在[]b a ,上一致连续．。