❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
y = f ( x ) = x 1 1 0 x = 1 x 1 x 3 1 x 2
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
例1 证明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
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学习指导
１．教学目的：了解闭区间上连续函数的性质。 ２．基本练习：了解并通过一定的练习学习最大最
小值定理、有界性定理、零点定理及介值定理在 函数值的估计和根的估计上的应用。 3．注意事项：闭区间上连续的函数有许多好的性质。 应了解在闭区间上连续函数的最大最小值定理、 有界性定理、零点定理及介值定理。了解定理的 条件和结论，并通过一定的练习学会运用它们．
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
说明:
定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么
在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
二、零点定理与介值定理 ❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0，那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0
几何解释：线弧y = f (x)的两 个端点位于x轴的不同侧,则曲 线弧与x轴至少有一个交.点
注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x 在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
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例如, y=1sinx, 在[0,2]上, ymax = 2, ymin = 0;
y=sgnx, 在 (,)上 , ymax =1, ymin =1; 在(0,)上, ym ax=ym in=1.
mf(x)M 上式表明 f(x)在[a b]上有上界M和下界m 因此函数f(x)在[a b]上有界
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有界性与最大值最小值定理:在闭区间上连续的 函数有界且一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
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•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
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设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那么，对于 A与B之间的任意一个数C ，在开区间a, b内
至少有一点x，使得 f (x ) = C (a x b).
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
❖定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 根据定理1 存在f(x)在区间[a b]上的最大值M和最小值 m 使任一x[a b]满足
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
证 设 在 [a,b]上连 , 续 B y=f(x)
且 (a )=f(a ) C
C
o
=AC,
A
(b )=f(b ) C =BC, m
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x
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❖定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
例如 函数f(x)=x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
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如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b 左连续,在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在 闭区间[a,b]上连续的。
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一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
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二、零点定理与介值定理