1. 控制系统任务的物理描述为了满足飞机品质的要求，飞机的纵向运动和横侧向运动都需要有能够连续工作的阻尼器，以用来调整飞机的飞行姿态，避免其出现不必要的俯仰和倾斜。
维持飞机纵向运动的阻尼器称为俯仰阻尼器，维持飞机横侧向运动的阻尼器称为偏航阻尼器。
本次课程大作业旨在通过运用Matlab 的经典控制系统设计工具对某型飞机偏航阻尼器进行控制系统的设计。
2. 控制系统对象的数学模型巡航状态下，某型飞机侧向运动的状态空间模型为：111121314111222122232421221313233343132234142434441424()1()()()()2()()()3()()4t x t a a a a b b t x t a a a a b b u t a a a a b b u t x t t a a a a b b x t t x x x x ∙∙∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111213141221222324234()()()()()()x t c c c c y t x t c c c c y t x t x t ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦式中：：侧滑角（单位为） 1()x t rad：偏航角速度（单位为） 2()x t /rad s：滚转角速度（单位为） 3()x t /rad s ：倾斜角（单位为）4()x t rad 输入向量及输出向量分别为：：方向舵偏角（单位为） 1()u t rad ：副翼偏角（单位为）2()u t rad：偏航角速度（单位为） 1()y t /rad s ：倾斜角（单位为）2()y t rad 设飞机巡航飞行时的速度为0.8马赫，高度为40000英尺，此时模型的参数为：0.055800.99680.08020.04150.598000.11500.031803.050000.38800.4650000.0805 1.00000A --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 0.007290.00000.475000.007750.15300.1430000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0 1.000000 1.0C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦首先输入飞机状态空间模型参数。
以及定义系统的状态变量、输入变量及输出变量，并建立状态空间模型。
在Matlab 命令窗口中输入如下命令：>> A=[-0.0558 -0.9968 0.0802 0.0415; 0.5980 -0.1150 -0.0318 0; -3.05000.3880 -0.4650 0; 0 0.0805 1.000 0];>> B=[0.00729 0.0000; -0.47500 0.00775; 0.15300 0.1430;0 0];>> C=[0 1 0 0; 0 0 0 1];>> D=[0 0; 0 0];>> states={'beta','yaw','roll','phi'};>> inputs={'rudder','aileron'};>> outputs={'yaw rate','bank angle'};>> sys=ss(A,B,C,D,'statename',states,'inputname',inputs,'outputname',outputs) 运行结果如图2-1所示：图2- 1 状态空间模型3. 系统特性分析根据前述系统的状态空间模型，首先分析系统的性能。
3.1. 计算开环特征值在Matlab中计算系统开环特征值，输入：damp(sys)所输入系统命令及运行结果如图3-1所示：图3- 1 系统开环特征值绘制零极点图，在Matlab的命令窗口中输入：pzmap（sys）运行结果如图3-2所示：图3- 2 零极点图由图可以看出，此模型含有接近虚轴的一对共轭极点，它们对应飞机的荷兰滚模态，此时，系统具有较小的阻尼，控制系统设计的目的是提高系统的阻尼比，改善荷兰滚模态的阻尼特性。
3.2. 计算系统的单位脉冲响应在Matlab命令窗口输入：impulse（sys）运行后得到如图3-3所示的单位脉冲相应曲线：图3- 3 单位脉冲对应曲线由图可以看出，系统过渡过程振荡剧烈，飞机确实存在很小的阻尼，图中相应时间较长，而乘客及飞行员关心的是飞机在最初的几秒钟的行为，所以绘制飞机在最初的20s以内的单位脉冲响应曲线。
在Matlab命令窗口中输入：impulse(sys,20)所得响应时间为20秒的单位脉冲相应图形如下：图3- 4 20s单位脉冲对应图形由上图可以看出，飞机围绕非零倾角产生了震荡，因此在副翼脉冲信号作用下，飞机会发生改变。
图3- 5 bode图形使用方向舵偏角作为控制输入，使用偏航角速度作为传感输入，为得到相应的频率响应，在Matlab 命令窗口中输入如下命令：sys11=sys(‘yaw’,’rudder’);bode(sys11)运行后的bode 图如图3-5所示。
由图可以看出，方向舵的变化对小阻尼的荷兰滚模态具有明显的影响。
4. 控制系统的指标一种比较合理的设计目标是确保自然频率时，阻尼比s rad n /0.1<ω。
30.0≥ξ5. 控制系统的设计通过以上分析可知，只要通过改变系统的增益，就可确保系统性能得到改善。
首先，应用根轨迹法确定合适的增益值。
在Matlab 命令窗口中输入：rlocus(sys11)运行后得到的曲线即为负反馈的根轨迹图。
所得图形图5-1所示：图5- 1 负反馈根轨迹图由图可见，采用负反馈连接会使得系统立刻变得不稳定，为确保系统稳定，应当采用正反馈连接。
在Matlab窗口中进一步输入：rlocus(-sys11)sgrid运行后得到正反馈的根轨迹图如图5-2所示：图5- 2 正反馈根轨迹图然后继续构成单输入单输出闭环反馈回路，在Matlab命令窗口中输入如下命令：k=2.85；cl11=feedback(sys11,-k);运行后得到负反馈系统cl11，如图5-3所示：图5- 3 负反馈系统由下述的Matlab命令求取系统响应时间为20s的单位脉冲相应，并将其与前述的开环系统单位脉冲响应作比较。
图5- 4 响应曲线在Matlab命令窗口中输入：impulse (sys11,cl11,’o-‘,20)运行后得到如图5-4所示的闭环系统的单位脉冲响应曲线。
由上图可以看出，与开环系统单位脉冲相应相比，闭环系统响应速度快，并且没有产生很大的震荡。
将全部多输入多输出模型构成闭合回路，分析在副翼输入信号作用下的响应。
将系统由输入1连至输出1，构成反馈回路，在Matlab中输入如下指令：cloop=feedback(sys,-k,1,1);damp(cloop)运行结果如图5-5所示：图5- 5 反馈回路图5- 6 脉冲响应曲线绘制多输入多输出模型的脉冲响应曲线，在Matlab命令窗口输入：impulse(sys,’-.’,cloop,20)运行后得到的脉冲响应曲线如图5-6所示。
由图可以看出，偏航角速度响应具有很好的阻尼比，但是从副翼（输入2）到倾斜角（输出2）通道可见：副翼变化时，系统不再像常规飞机那样连续偏转，而是呈现出稳定的螺旋模态，螺旋模态是一种典型的非常慢的模态，它允许飞机滚转和偏转而无需恒定的副翼输入。
为此，希望能够消除螺旋模态，使它具有很高的频率。
当形成闭环时，要确保螺旋模态不能进一步移动到左半平面。
应当使用下洗滤波器的设计。
即：a s ss G c +=)(通过在原点处设置1个零点的方式，下洗滤波器将螺旋模态的极点控制在原点附近，当时间常数为5秒时，选择，应用根轨迹法确定滤波器增益，0.2=α)(s G c 首先确定滤波器的固定部分，在Matlab 命令窗口中输入：Gc=zpk(0,-0.2,1)运行结果如图5-7所示：图5- 7 固定部分然后将此滤波器与设计模型sys11以串联的形式连接，得到开环模型，在Matlab 中输入oloop=Gc*sys11；然后绘制此开环模型的另一个根轨迹图并加入网格线，在Matlab 命令中输入：rolcus(-oloop)sgrid运行后得到开环模型的根轨迹如图5-8所示：图5- 8 根轨迹图在确定阻尼比的情况下，得到开环增益如下图所示：此即为开环根轨迹曲线，可以看出在阻尼比为0.3左右时，增益约为2.02。
6. 系统仿真结果分析6.1. 观察从方向舵到偏航角速度通道的闭环脉冲响应：首先形成闭环回路，在Matlab命令窗口输入：k=2.07;cl11=feedback(oloop,-k);impulse(cl11,20)运行后得到单位脉冲响应曲线如图6-1所示：图6- 1 单位脉冲响应曲线由上图可见，此时响应良好，但阻尼比小于前面的设计。
6.2. 验证设计的下洗滤波器固定了飞机的螺旋模态问题构成完整的下洗滤波器，在Matlab命令窗口中输入：WOF=-k*Gc；将多输入多输出模型sys的第1对输入/输出通道闭合并求取其单位脉冲相应。
在Matlab命令中输入：cloop=feedback(sys,WOF,1,1);impulse(sys,’-.’,cloop,20)运行后得到的单位脉冲响应如图6-2所示：图6- 2 单位脉冲响应由图可见，相对于副翼（输入2）脉冲输入的倾斜角（输出2）响应在较短的时间内具有所期望的几乎不变的特性。
图6- 3单位脉冲曲线其单位脉冲相应曲线可以进一步的得到如图6-3所示。
基本上满足了设计要求。
7. 结论本次控制系统的设计，尽管没有完全的符合阻尼比的要求，但已经充分增加了系统的阻尼比，并可以保证飞行员能够正常的驾驶飞机，达到了最初的设计目的。