初中三角函数〖考试要求〗通过实例认识锐角三角函数（sinA ，cosA ，tanA ），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.度数 sin α cos α tan α30°21 23 33 45°22 22 160°23 21 31．1 正弦和余弦例1 已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin 2α+cos 2α=1； （2）求证：sin α+cos α≥1，讨论在什么情形下等号成立；（3）已知sin α+cos α=1，求sin 2α+cos 2α的值．证明 （1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sin α=BC/AB ，cos α=AC/AB ，所以在这种情形下ABCABC当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有sin2α+cos2α=1．（2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有sinα+cosα≥1，当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立．（3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有sin2α+cos2α=1．例2 求证：对于0°≤α≤90°，1．2 正切和余切证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα=（2）α必须满足不等式：0°＜α＜90°．如图6-2，所以tgα·ctgα=1．例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而证明：如图6-2，设BC=a，AC=b，AB=c，则所以原式成立．点评这里α≠0°，90°．怎样理解锐角三角函数的概念？答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．关于这点，我们看图1，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，B1C1∥B2C2∥B3C3∥…，∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…，因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值．根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值．这样在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctgA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数，即深刻理解锐角三角函数定义，要注意以下几点：(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小，即边的长短无关．只要角A一旦确定，四个比值就随之而定；角A变化时．四个比值对应变化．这正体现了函数的特点，锐角三角函数也是一种函数，这里角A是自变量，对于每一个确定的角A，上面四个比值都有唯一确定的值与之对应，因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)准确理解锐角三角函数定义，要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的，是角的哪条边与哪条边的比；在具体应用定义时，要注意分清图形中，哪条边是角的对边，哪条边是角的邻边，哪条边是斜边．[例] 求出图2中sinD，tgE的值．(3)“sinA”等是一个完整的符号．整的符号，不能看成sin与A的乘积．离开角A的“sin”没有什么意义，其他三个cosA、tgA、ctgA等也是这样．所以写时不能把“sin”与“A”分开．计算解答题3. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sinA 是方程5x 2-14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.4. q 为三角形的一个角,如果方程10x 2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq. 1、 讲解例题 例1计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）︒-30cos 31；（3）︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos ； （4）︒-︒+︒45tan 45cos 60sin 22例2 填空：（1）已知∠A 是锐角，且cosA = 21，则∠A = °，sinA = ；（2）已知∠B 是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °； 例3一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。

例4在Rt △ABC 中，∠C = 90°，c a 32=，求ca，∠B 、∠A 。

〖考点复习〗1．锐角三角函数[例1]如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°,若AB ＝5，AC ＝4，则sin ∠B ＝（ ）A. 35B. 45C. 34D. 43[例2]如图, △ABC 中∠A=30º, tanB=23, AC=32, 则AB=____2．特殊角的三角函数值[例3]如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC 为2cm ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 m 。

（精确到0.1m ，可能用到的数据41.12≈，73.13≈）[例4]计算：12-0)25(60sin 2+-︒；3．简单应用[例5]如图是一口直径AB 为4米，深BC 为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O 观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD= 度，（不考虑青蛙的身高）； 〖考题训练〗CB ABCAABC OD1．Rt △ABC 中，若∠C ＝90º，AC ＝3，AB ＝5，则sinB 的值为__ _____。

2．如图，在⊿ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB 的值是（ ） A 、43 B 、34 C 、53 D 、543．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（） A 、都扩大为原来的5倍 B 、都扩大为原来的10倍C 、都扩大为原来的25倍D 、都与原来相等4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,c=4,则sinA 的值是( ) A 、1515 B 、41 C 、31D 、415 5． 在直角三角形ABC 中， ∠C=90º，已知sin A =35,则cos B =_______. 6．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米(结果用含α的三角函数表示).7．如图，等腰三角形ABC 的顶角为1200，腰长为10，则底边上的高AD= 。

8．计算：23tan60°+|-2|+2-1. 9．在△ABC 中，2AB =，2AC =B ∠=30º，则 ∠BAC 的度数是 .10．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到 △A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________. (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=62-，cos15°62+) ①．如图，tan α等于（ ）A ．12 B ．2C ．55D ． 5②．在ABC ∆中，︒=∠90C ，AB =15，sin A =13，则BC 等于（ ）A 、45B 、5C 、15D 、145③．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）A 、sinB ＝23 B 、cos B ＝23C 、tg B ＝23D 、ctg B ＝23BAC αBABCα12④．计算：sin 30°＝ .⑤．计算cos 60º＋22－8 －2－1⑥如图，在△ABC 中，∠C=90º，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=35，则BC 的长是（ ）A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、10cm⑦．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，DE ⊥BC 于E ，若AD=2DC ，AB=4DE ，则sinB 的值为( )A 、12B 、73C 、377D 、 3420.我市英山县某茶厂种植 “春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-6中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图1-3-7的抛物线表示.图1-3-6 图1-3-7(1)直接写出图1-3-6中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式; (2)求出图1-3-7中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克) 解:(1)依题意,可建立的函数关系式为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤<<+-.180150,2052,150120,80,1200,16032t t t t t (2)由题目已知条件可设z=a(t-110)2+20.∵图象过点(60,385), ∴385=a(60-110)2+20.∴a=3001.∴z=3001(t-110)2+20(t>0).(3)设纯收益单价为W 元,则W=销售单价-成本单价.故W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤---+<≤---<<---+-.180150,20)110(30012052,150120,20)110(300180,1200,20)110(300116032222t t t t t t t t 化简得W=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+--<≤+--<<+--.180150,56)170(3001,150120,60)110(3001,1200,100)10(3001222t t t t t t①当W=-3001(t-10)2+100(0<t<120)时,有t=10时,W 最大,最大值为100; ②当W=-3001 (t-110)2+60(120≤t<150)时,由图象知有t=120时,W 最大,最大值为3259; ③当W=-3001(t-170)2+56(150≤t≤180)时,有t=170时,W 最大,最大值为56. 综上所述,在t=10时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.。