点向式方程
x x0 y y0 z z0 m n p x x0 y y0 z z0 t m n p
参数式方程
直线、平面的位置关系 线线角：
2
线面角：
面面角：
空间向量与解析几何 真题
1 、（ 01-2 ） 平 面 1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 ， 平 面
C (1,1,2)
D (1,1,2)
5
第七讲、二重积分
二重积分
：
二重积分的几何意义：
二重积分的计算
法一、直角坐标系下的 X 型积分区域
Dx {( x, y ) a x b, y1 ( x) y y2 ( x)}
f ( x, y)dxdy (
D a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
（02-3）设有平面 1 : x y 2 z 6, 2 : 2 x y z 5 ，则（ 2、
）
A. 1 // 2 C. 1 与 2 的夹角为
B. 1 2

3
D 1 与 2 的夹角为.

4
（03-2） 平面 x 2 y z 3 0 与空间直线 3、 位置关系是（ ） A 互相垂直 C 既不行也不垂直

D 以上均不对
11、求圆柱面 x 2 y 2 2 y 被锥面 z x 2 y 2 和平面 z 0 割下部
分的面积。
第八讲、第二类曲线积分
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
重要性质： （1）路径的可加性（2）反向性
11
格林公式：
第二类曲线积分与路径无关的条件：
曲线积分、曲面积分
12
其中函数 ( x) 具有连续导数，并且 (1) 1 （1） 、求函数 ( x) （2） 、求积分值 I
D
）
A 1 dx x2 C 0 dy
1 y
1
2 x2
f ( x, y )dy
B 1 dx 2 x2 f ( x, y )dy D x2 dy 1 f ( x, y )dx
2 x2 1
1
x2
2 y
f ( x, y )dx
7、设 D :1 x 2 y 2 4, f 在 D 连续，则 f ( x 2 y 2 )dxdy 在极坐
D D
d


2 ( )
1 ( )
f ( cos , sin ) d
6
二重积分的应用：会用二重积分求曲面所围成的体积
二重积分 真题
1、 （01-10） 改变二次积分 I dx e y dy dx e y dy 的积分次序，
2 2
1 2
B
15
C 4
D 2
4、 （04-3） A 3 B3
2 x 2 y 2 4 2

dxdy _______
C3 3 D4
7
5、 （04-10）计算二重积分 x 2 y 2 dxdy, 其中 D 是圆环区域：
D
a 2 x2 y 2 b2
0 0
1
1
强化训练
1、求由锥面 z x 2 y 2 及旋转抛物面 z 6 x 2 y 2 所围成的立
体的体积
2、交换二次积分的次序 0 dx x2 f ( x, y )dy ___________
1
x
9
3 、 计 算 (2 x y )dxdy ， 其 中 是 由 直 线 y 1, y x 1 0 及
x 1 y 1 z 2 的 3 1 1
B 互相平行但直线不在平面上 D 直线在平面上
3
4、 （05-2）设 , 是两个向量，并且 2, 2, 2 ，那
么 ______
1 2
A、2
B、2 2
C、
D、1
（05-2）直线 5、 是 _________
D
标系中等于（
）
A I 2 1 rf (r )dr
2
B I 2 [ 0 r 2 f (r )dr 0 r 2 f (r )dr ]
2 1
C I 2 1 rf (r 2 )dr
2
D I 2 [ 0 rf (r 2 )dr 0 rf (r 2 )dr ]
2 1
f ( x, y )dy )dx dx
a
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x, y )dy
法二、直角坐标系下的 Y 型积分区域
Dy {( x, y ) c y d , x1 ( y ) x x2 ( y )}
f ( x, y)dxdy (
交 换 二 次 积 分 的 积 分 次 序 ：
dx
0
1
x
x2
f ( x, y )dy __________
9、 （07-7）设平面区域 D 是由圆周 x 2 y 2 1 所围成的闭区域，
计算二重积分 e x
D
2
y2
dxdy
8
10 、 （ 08-7 ） 计 算 积 分 y x 2 dxdy ， 其 中
x y 2z 2 0 （09-7）求过点 (1, 2,1) 且与直线 垂直的平面方 9、 x 2 y z 1 0
程
4
10、 （11-4）经过点 (2,-5,1) 且与平面 x-4 y +2 z -3=0 垂直的直线方程
为__________
强化训练
1、同时与向量 (1,3,1) 及 y 轴垂直的单位向量是__________
2 : A2 x B2 y C 2 z D2 0 ，平面 1 和 2 垂直的条件是（
A. A1 A2 B1 B2 C1C 2 0 C.
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
）
B. A1 A2 B1 B2 C1C 2 D1 D2 0 D.
A1 B1 C1 D1 A2 B2 C 2 D2
L
物线 y x 2 由 O（0，0）到 A（1，1）一段。
3、 （02-10） 求曲线积分 ye x dx (e x 3 y 2 1)dy, 其中 L 为从 (0,1)
l
到 (2,2) 的任何一条光滑曲线。
4、 （05-20）设下述积分在全平面上与路径无关； c 3 2 x2 y ( x)dx [ ( x) ] ydy 2 2
D
x y 3 0 所围成的平面区域
4、计算 ( x 2 y 2 )dxdy ，其中 D {( x, y ) | x 2 y 2 4, y 0}
D
5、计算 xydxdy ，其中 D 是由直线 y 1, y x 及 x 2 所围成的平
D
面区域
6 、 若 积 分 域 D 是 由 曲 线 y x2 及 y 2 x2 所 围 成 ， 则 f ( x, y )dxdy （

2、直线 l :
x 1 y 1 2 3 ） 是（ A l // 平面 C l 垂直于平面
z2 与平面 : x y z 1 的位置关系 5 B l 在平面 D l 与平面 斜交
3、直线 A 平行
x 2 y 2 z 3 与平面 x y z 3 的位置关系是 3 1 4 B 直线在平面上 C 斜交 D 垂直
10
8、设 I 0 dx e x f ( x, y )dy ，交换积分次序后，则 I __________
1
e2 x
9 、 累 次 积 分 I a dx
0
2a x a2 x2
f ( x, y )dy 交 换 积 分 次 序 后 ，
I __________
10、二重积分 I AI BI 2 C I 2
D
D {( x, y ) | 0 x 1, 0 y 1}
11 、 （ 09-4 ） 交 换 二 次 积 分 的 积 分 次 序
dy
0
1
1
y
f ( x, y )dx __________
（10-10）计算 0 dx x2 12、
1
1
xy 1 y3
dy
（11-4）二重积分 dx xy 3 dy ________ 13、
j y1 y2
k z1 z2
平面的方程： 点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 截距式方程
x y z 1 a b c
直线的方程
A x B1 y C1 z 0 一般式方程 1 A2 x B2 y C2 z 0
7、 （ 08-4 ）设向量 (1,1, 0), (2, 0,1) ，则 与 的数量积是 ___________
8、 （09-2）已知向量 (1, 2,1), (2,1, 2) ，则 （ ） A -6 B 6 C (3,0,-3) D (-3,0,3)
1、 （01-10）设曲线积分 L
AB
e
x
f ( x) ydx f ( x)dy 与路径无

0），B 为 1， 1) ，试 关，其中 f ( x) 有一阶导数且 f (0) 1, A为（0， （
求 f ( x) 和的 L 值
（03-10）计算曲线积分 （x 2 y 2） 2、 dx 2 xydy ，其中 L 是沿抛
1 x 2 y 2 4

f ( x, y )dxdy 为（