6-3 -1 热对流携的净能量 单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能：
e U 1（u2 +v2 +w2） 2
(6-3-2)
x 方向流体携入控制体的净能量为ρuedydz与 uedydz+ (xue)dx之dydz
差，即 (xue)dxdydz
类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为
对于不可压流体，密度ρ为常量， D ＝0，则连续性方程为
divV u v w 0 x y z
(6-1-11)
6-2 动量方程
将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方 程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和 粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。 考虑作用于控制体上的力平衡，有
式中div表示散度，即
div(V ) (u) (v） (w)
x
y
z
(6-1-3) (6-1-4) (6-1-5) (6-1-6)
6-1 质量守恒与连续性方程
局部的质量守恒表达式也可以写为
u v w (u v w) 0 x y z x y z
(6-1-7)
即
D V 0
u x
v
u y
w
u z
)
P x
( 2u x2
2u y 2
2u z 2
)
Fx
(6-2-9)
( v
u
v x
v
v y
w
v ) z
P y
(
2v x2
2v y 2
2v z2 )
Fy
(
w
u
w x
v
w y
w
w z
)
P z
(
2w x2
2w y 2
2w) z 2
Fz
(6-2-10)
6-2 动量方程
为简洁，可以表示为向量形式： DV F P 2V D
能量守恒方程
(ue) x
(ve) y
( we) z
dxdydz
x
(
T x
)
y
(
T y
)
z
(
T z
)
dxdydz
dW
(e) dxdydz
(6-3-5)
dW 将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为
De
D
dxdydz
x
(
T x
)
y
(
T y
)
z
(
T z
)
dxdydz
（优选）第六章对流换热基本 方程
第六章 对流换热基本方程
6-1 质量守恒与连续性方程
如果研究对象取控制体，则有
mcv
t
in
qm qm
out
(6-1-1)
假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为ΔxΔy，点(x，y)处的 速度为u和v，控制体内的质量为ρΔxΔy。方程(6-1-1)应用于该控制 体中，得到
由傅里叶定律
qx
T x
6 -3 能量方程
因而x方向净导的能量可写为：
( T )dxdydz
x x
类似的，y、z方向的净导的能量为：
( T )dxdydz
y y
和 ( T )dxdydz
z z
6 -3 能量方程
6-3-3 控制体内总能t 随时间的变化率
控制体内总能量随时间的变化率为 dE (e) dxdydz
xy
y
Fx
式(6-2-4)中的法向应力 y 和切向应力 xy 由下式给出：
x
P
2
u x
2 ( u
3 x
v ) y
xy
(u
y
v ) x
(6-2-3) (6-2-4) (6-2-5) (6-2-6)
6-2 动量方程
将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克 斯方程：
Du
D
P x
x
2
u x
2(u
3 x
v y
)
y
(
u y
v x
)
Fx
(6-2-7)
如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为
( u
u
u x
v
u y
)
P x
(
2u x2
2u y 2
)
Fx
(6-2-8)
下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维
-斯托克斯(N-S)方程：
( u
u
xy ( x
x
x
x)y xyx ( xy
xy
y
y) Fxxy 0
(6-2-2)
6-2 动量方程
图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡
6-2 动量方程
等式两边同除以，得到
Du
D
u
D
D
( u
x
v y
)
x
x
xy
y
Fx
考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有
Du
D
x
x
(yve)dxdydz和
( we)dxdydz
z
因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或
dQconv
(ue)
x
(ve)
y
(we)
z
dxdydz
6 -3 能量方程
6 -3 -2 通过导热在界面导的净能． x方向净导能量为
qxdydz与 (qx
qx x
dx)dydz
之差，即
qx dxdydz x
类似地，y、z方向作用力的净功为
(Mvn )cv
in
(qmvn ) (qmvn )
out
(6-2-1)
式中，n表示所讨论的方向。 有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。
图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-21)应用于x方向，得到
(uxy)
u2y
u
2
x
(u
2
)x
y
uvx
uv
y
(uv)y x
(6-2-12)
由热力学知 f (P,T )
d
(P )T
dP
(
T
)P
dT
(6-2-13)
一般
(
P
)T，( T
)P不为零，但dP、dT较小时可以认为dρ0,
ρ=常数。
6 -3 能量方程
dQconv dQcond dW dE
6 -3 能量方程
图6-3 控制体能量平衡
6 -3 能量方程
其中 D
D
为全导数，即
D
D u v w
D x y z
(6-1-8)
为当地变化率。·V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变
为
6-1 质量守恒与连续性方程
D divV 0 D
也可以用张量形式写出连续性方程，即
(6-1-9)
x
(vi )
0
(6-1-10)
其中i＝1，2，3。
D
dW (6-3-6)
也可以将总能量分为热力学能和动能．即
e U 1（u2 +v2 +w2） 2
(6-3-7)
6 -3 能量方程
6-3-4 界面上作用力对流体作的功 作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为
（ xxu）
x
（ yx u）
y
（zxu）
z
（pu） x
Fxu
dxdydz
(xy)
uy
(v)
y
y x
(6-1-2)
6-1 质量守恒与连续性方程
通过消去控制体体积ΔxΔy，得到 (u) (v) 0 x y
对于三维流动，类似地可以得到
(u) (v) (w) 0
x
y
z
这就是流体的连续性方程，用矢量形式表示，则为
div(V ) 0