3、窄带随机信号的相关函数
相关函数分析
RY ( ) Ra ( )cos 0 Rb ( )sin 0
当具有对称的功率谱时
1 Rb () GY ( 0 ) sin d 0 0
RY ( ) Ra ( )cos 0
4、同相分量和正交分量的统计特性 Ac(t)与As(t)的表示
2 X ( ) 0 X ( ) 0 0
解析信号的频谱在负频率部分为0，而正频率部分是 实信号的两倍。
一、确知信号的复信号表示
A( )
j0t x ( t ) A ( t ) e 对于窄带信号，由
可得，

0
(- ), () A X 0 () X ( ) A 0
GX ( ) 2[GX ( ) sgn( )GX ( )]
GX ( )

~ ( ) GX
4
0
4GX ( ) 0 GX ( ) 0 0
0

随机信号的复信号形式，其功率谱密度在负频率为零， 而在正频率为随机信号功率谱的四倍。
5.3 窄带随机过程的统计特性
G

0
G

0

Y
1

Y
( 0 ) cos d cos 0
Ra ()
1

Y
( 0 ) sin d sin 0
Rb ()
得到
RY ( ) Ra ( )cos 0 Rb ( )sin 0
慢变化过程
相关函数也具 有振荡形式
自相关函数：
Rc (t, t ) E Ac (t ) Ac (t )
ˆ (t ) sin t ][Y (t ) cos (t ) Y ˆ (t ) sin (t )]} E{[Y (t ) cos0t Y 0 0 0
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
二、随机信号的复信号表示——解析过程 2、性质
自相关函数为
* RX ( ) E X ( t ) X (t )
ˆ (t ) X (t ) jX ˆ (t ) E X ( t ) jX RX ( ) RX ˆ ( ) j[ RXX ˆ ( ) RXX ˆ ( )]
（5）如果 y(t ) v (t ) x(t ) ，则
ˆ (t ) v ˆ (t ) x (t ) v (t ) x ˆ (t ) y
二、希尔伯特变换的性质
（6）
RX ˆ ( ) RX ( )
（7）
ˆ ˆ RXX ˆ ( ) RX ( )，RXX ˆ ( ) RX ( )
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程
5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性
5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
x( ) ˆ (t ) H [ x(t )] x d t 1
一、窄带随机过程的定义H(w)
X(t) 白噪声 宽带噪声 X(t) （c） Y(t) （ d） （a） Y(t) 窄带系统
窄带系统
（ b）
0
窄带噪声
t
t
幅度随机变化
幅度随机变化
相位随机变化
相位随机变化
白噪声或宽带噪声通过窄带系统
5.3 窄带随机过程的统计特性
一. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
相频特性为：
正 交 滤 波 器
二、希尔伯特变换的性质
ˆ (t )] x(t ) （1） H[ x
（2） H[cos(0 t )] sin(0 t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t )cos 0t ] a(t )sin 0t
A(t )e
j 0t + (t )
(t )e j0t A
(t ) 其中 A
A(t )e j (t ) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
( ) X ( ) jX ( ) X
X () j j sgn() X () X () 1 sgn() 2 X ( ) ( )
0
X ( )

ˆ ( ) jX

0
() X
解析信号的频谱向左频移ω0,
就可以得到复包络的频谱。

0
窄带信号及其解析信号频谱关系
二、随机信号的复信号表示——解析过程 1、定义
设X(t)为实随机过程，其复随机过程定义为：
(t ) X (t ) jX ˆ (t ) X
X ( ) 1 ˆ (t ) H [ X (t )] X d 实随机信号 t
则
sgn 为 奇 函 数 1 1 jsgn jsgn t πt
90 90
若系统函数为
j H ( j ) jsgn j 则冲激响应 h t F 1 H j 1 πt
得到


RX ( ) RXˆ ( )
ˆ ( ) RXXˆ ( ) RXˆX ( ) R X
1 RX ( )= Re RX ( ) 2
ˆ RX ( ) 2[ R ( ) jR X X ( )]
二、随机信号的复信号表示——解析过程 2、性质

其反变换为：
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t
1
1

即：
1 ˆ ( t ) x( t ) x t
一、希尔伯特变换的定义
2 已知符号函数的傅里叶变换 F sgn t j 1 2 sgn 根据对称性得到 2 π jt
) RXX （8） RXX ˆ ( ˆ ( )，RXX ˆ ( ) RXX ˆ ( )
RXX ˆ (0) RXX ˆ (0) 0
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
5.2 信号的复信号表示
一、确知信号的复信号表示
复信号定义为：
(t ) x(t ) jx ˆ (t ) x
AC (t ) A(t )cos (t )
AS (t ) A(t )sin (t )
同相分量 正交分量
A(t )
AC 2 (t ) AS 2 (t )
1
(t ) tg
AS (t ) AC (t )
3、窄带随机信号的相关函数 相关函数分析
令 0
1 RY ( ) 2
0 0
一、希尔伯特变换的定义
系统框图:
f t F
h t
j sgn

ˆ t f ˆ F
系统的零状态响应 利用卷积定理
1 ˆ f t f t ht f t πt
jF 0 ˆ t F ˆ F jsgn F f 0 jF 具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
一、希尔伯特变换的定义
同理可得到: 若系统冲激响应为
1 ht πt
其网络的系统函数为
j H ( ) F h t jsgn j
该系统框图为 ˆ f t
ˆ F
h t
90 -90
0 0
Y (t ) Ac (t ) cos0t As (t ) sin 0t
ˆ (t ) A (t )sin t A (t )cos t Y c 0 s 0
ˆ (t ) sin t Ac (t ) Y (t ) cos0t Y 0
ˆ (t ) cos t As (t ) Y (t ) sin 0t Y 0
H[a(t )sin 0t ] a(t )cos 0t
二、希尔伯特变换的性质
（4） 如果A(t)与ψ(t)都是低频信号
H A(t ) cos 0 t + (t ) A(t ) sin 0 t + (t )
H A(t )sin 0 t + (t ) A(t ) cos 0 t + (t )
Y (t ) AC (t ) cos 0t AS (t )sin 0t
0 为窄带滤波器的中心频率，AC (t ), AS (t ) 是另外两个随机过程。
ˆ (t )sin t AC (t ) Y (t )cos 0t Y 0 ˆ (t )cos t AS (t ) Y (t )sin 0t Y 0
GX ( ) 0 C 0 C GX ( ) 其它 0
而且带宽
2C 满足 0
，则称此随机过程为
窄带平稳随机过程。
5.3 窄带随机过程的统计特性
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t )
二. 窄带随机过程的表示方法
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示