概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、A -B =AB 二A -AB; A B = A 一(B -A)2、对偶率：A 一 B =B ；A ' B = A 一 B.P(A - B) = P(A) - P(AB),特别，B A 时有:P(A _ B)二 P(A) _ P(B); P(A) _ P(B)对任意两个事件有：P(A B) = P(A) - P(B) - P(AB)4、古典概型例：n 双鞋总共2n 只，分为n 堆，每堆为2只，事件A 每堆自成一双鞋的概率5、条件概率P(B | A) =P(AB ),称为在事件A 条件下，事件B 的条件概率，P(B)称为无条件概率。
P(A) 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B |A) P(AB) = P(B)P(A | B)全概率公式：P(B)=5： P(A)P(B|A i )i贝叶斯公式：P(A|B)=P^= P(A i )P(B|A) P(B) Z P(A j )P(B|A j )j例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2 黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率 (2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：分堆法：C ；n島！，自成一双为:n ！，则 P(A) = n*.C2n3、概率性率解：1)设B i=｛球取自i号罐｝, i =1,2,3。
A =｛取得是红球｝，由题知B1> B2、B3是一个完备事件2 3 1 由全概率公式P(B)=v P(A)P(B|A) 依题意，有：P(A|B i) ;P(A|B2); P(A| B3) .i 3 4 21P(BJ =P(B2) = P(B3) ，P(A) ：0.639.3(2)由贝叶斯公式：P(B1 | A)二P(A| B1)P(B1):. 0.348.P(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B 独立。
(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P( A) =1 - p = q (0<p<1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理：b(k; n, p)二C：p k(1 - p)n* ( k=0,1,2 ……)事件A首次发生概率为：P(1-P)2例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：(1)设B二“5次独立试验发出指示信号”，则由题意有：5P(B)二、C5 p k(1 - p)5」，代入数据得:P(B)二0.163(2)设C二“7次独立试验发出指示信号”，则由题意有：7 2P(C)二 ' C：p k(1 - P)7' =1 -、C；p k(1 - p)z，代入数据，得：P(C)二0.353i =3 i =0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：P｛ X =xd = p;P｛X = X2｝ =1-p (0<p<1 )则称X服从X1、X2处参数为p的两点分布。
其中期望 E (X) =p,D(X)=p(1-p)(2 )二项分布：若一个随机变量X的概率分布由P{X二k}二C：p k(仁p)n±(k=0,1,2 ...... )给出，则称X服从参数为n , p的二项分布，记为：X~b(n,p)(或B(n，p)n其中P{X =k} =1，当n=1时为0 —1分布。
其期望E( X)=np，方差k卫D(X)=np(1-p)k(3)泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：P{X二k}二e / 0, 0,1,2k!则称X服从参数为■的泊松分布，记为：X ~ PC )(或X —：(■),其中J P{ X = k} = 1.k=0泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P n,如果n》：：时，nP n——(・0的常数)，则对任意给定的k，有lim b(k;n, p) = lim C：P：(1 - P)k!e—',这表明，当n很大时，p接近0或1时，有臨“汀-亍一*") N >20 , p <0.05时用泊松分布。
其期望方差相等，即：E(X)=D(X)= ■。
&常用连续型分布(1)均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为f(x) = ；1/(ba)a x b0其他则称X在区间(a, b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。
其中-bef (x)d^ 1，分布函数为0, x v aF(x)=」(x _a)/(b _a), a 兰x < b.1,x沁\ 2 二2 X —卩定理：设X~N(〜；「2),则Y~ N(0,1)a其期望 E(X)= g D(X)=二2 o9、随机变量函数的分布 (1)离散型随机变量函数分布一般方法 ：先根据自变量 X 的所有 可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过Y 的每一个可能的取值 y j (i=1,2, ••…)来确定 Y 的概率分布。
(2)连续型随机变量函数分布方法：设已知X 的分布函数F X (x)或者概率密度f X (x),2 其期望 E (X ) =a b，方差 D(X)= ©’。
2 12■e ，x(2)指数分布：若随机变量的概率为f(、“ ・，x>0、o f (x丿一 | o 其他，扎> 0，则称X 服从参数为■的指数分布，简记为X~e( ■).其分布函数：F(x) I 其他〉0 “0 0,其他，其期望E(X)= 1，方差D(X)= $ .(3)正态分布：若随机变量X 的概率密度为f(x)二(x 」)2-: 2~e2：二， x服从参数为卩和二2的正态分布，记为X~N( (1, c 2 ),其中口和二(二>0 )都是常数。
分布函1 x 数为：F (沪，2= ‘ (t 「l)22、孑dti x< "-o 当"=o,；「=1时，称为标准正态分2t2丄1 X — e2 ,分布函数为：门(x) ---- ------ e 2 dt.布，概率密度函数为：:(x)则随机变量Y=g(X)的分布函数F Y(y)二P{Y <y}二P{ g(X)乞y} = P{ X • C Y},其中C y ={x | g(x)三y} , FY ( y)二P{ X C Y}二C f x(X)dx ,进而可通过丫的分C y布函数F Y(y),求出Y的密度函数。
"1_ | x |_1 < X < 1例：设随机变量X的密度函数为f X(x) = J ' ，求随机变量、、0,其他Y=X2的分布函数和密度函数。
解：设F Y(y)和f Y(y)分别是随机变量丫的分布函数和概率密度函数，则由—1：：：x：：：1得:1 ：：： y <2,那么当y ：：1 时F Y(y)二P{Y 乞y}二P{X21乞y}二P()二0,当1 ：：y ： 2时，得:2.---------- I --------------------------- J口1 (y) = P{Y 兰y} =P{X2+1 兰y} =P{—p y—1 兰x E^y—1 = ^^(^|x|)dx= fy _1 _____0(1 —x)dx =2^y —1 —(y —1),当y 兰2 时，F Y(y) = P{Y W y} = P{ X 2+1 W y}=I 0,y 兰1=1,所以，F Y(y) = (y—1),1 cy c2,L1,心210、设随机变量X~N(讥二),Y= aX b也服从正态分布.即丫=aX b ~ N(ab,(a二))。
o (1 x)dx -yJ10dx-：：1」(1-|x|)dX J -He0dxf x(x)二F Y(y)'二”一1,1"2 0,其他11、联合概率分布（1）离散型联合分布•・'、'、R j =1i j（2）连续型随机变量函数的分布：1 • • • •（X , 丫）的密度函数«）』8以+ *°处兰2g y 兰2[o,其他 求 f(x), f(y),E(X),E(Y),cov(X,Y)， *，D(X+Y).x解：①当 0W x W 2 时由 f X (x) = j [1/8(x y ) dy ,得:co或 x>2 时，由 f X (x) Ody 亠 i Ody = 0 ,所以，例：设随机变量2f x (x ) = 1/8x 1/4x ，当 x<0f x (x)二:1/8x 2 1/4x,0乞x_2 0,其他同理可求得： fY（y ）1/8y 2 1/4 y,0 乞y 乞2 0,其他2 2 2 22 2④ D(X)二 E(X 2) -[E(X)]2 二 0 0 x 2f (x ，7 211 y)dxr w同理得D(Y)= 所以，36 cov(X,Y)XY = _ -----------------------------D(X)D(Y) 112②E （X ）= 0 xf X （x ） dx=7/6,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。
③因为 E(XY)= I I xyf (x, y)dxdy ： I i 1/8xy(x y)dxdy =4/3.2所以，cov (X,Y ) = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。
⑤ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)= -912 、条件分布：若F(x| A) = P{X 沁| 二P{ A},称F(x| A)为在A 发生条件下,X的条件分布函数13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y w y}，且P{Y W y}>0,贝,F(x —八坐x_Y yU3)，设随机变量(X,Y)的联合分布概率为FP{YEy} F Y(y)(x,y),边缘分布概率为F X (x)、F Y (y),若对于任意x、y有:P{X Ex,Y 乞y} =P{X 乞x}P{Y 乞y},即：F(x, y^F X (x)F Y(y)，则称X 和Y 独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f (x, y),边缘概率密度函数为f X(x)、f Y(y),则对于一切使f X(x)>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：f Y|X (y | x)二f (x, y),同理得到定义在Y=y条件下X的条f x(X)件概率密度函数为：f X|Y(x | y) = f (x, y),若f (x,y) = f X(x) f Y(y)几乎处处成立，则f y(y)称X,Y相互独立。