f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的； 2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
2 若 X ~ N (, 2 ) ，则 X 的分布函数为
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
X
~ N (0,1)
充要条件：X 和 Y 不相关。
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） 方差 的性 质
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
独立性
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
第三章 二维随机变量及其分布
对 于 二 维 随 机 向 量 (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
连续型
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy, 则称 为连续型随机向量；
f (x, y)dx.
pij pi• p• j
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密 度区间为矩形
若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则：
随 机 变 量 的 h（X1，X2,…Xm）和 g（Xm+1,…Xn）相互独立。
xk x
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, , n 。
P( X
k)
Pn(k
)
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2, , n ，
其中
（5）八 大分布
二项分布
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为 X ~ B(n, p) 。当 n 1时， P( X k) p k q1k ，k 0.1，这
就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
设随机变量 X 的分布律为
泊松分布
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2 ，
k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或 者 P( )。
超几何分布
P( X
k)
CMk
•
C
nk N M
,
k
0,1,2
Y
g(x1), g(x2), , g(xn),
，
P(Y yi ) p1, p2, , pn,
若有某些 g(xi) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi) 的概率。
先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤y)， 再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
“由果朔因”的推断。
第二章 随机变量及其分布
连续型 随机变 量的分 布密度
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数 x ，有
x
F (x) f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度
函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面性质： f (x) 0 。
f (x)dx 1
离 散 与 P(X x) P(x X x dx) f (x)dx 。积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论
连续型
随 机 变 中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
量的关
系
0-1 分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
充要条件：X 和 Y 不相关。
D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
期望
方差
0-1 分布 B(1, p)
p
p(1 p)
二项分布 B(n, p)
np
np(1 p)
泊松分布 P()
几何分布 G( p)
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
x
随机变量， F(x) pk ；对于连续型随机变量， 。 F (x) f (x)dx
Fmin (x) 1 [1 Fx1 (x)] • [1 Fx2 (x)] [1 Fxn (x)]
设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且服从标准正态分
布，可以证明它们的平方和
n
W
X
2 i
我们称随机变量
W
服从自由度为
n
的
2
分布记
i 1
为
W～ 2 (n)
2 分布
函数
特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。
根据定义计算： FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
Z=X+Y
态分布的和仍为正态分布（
1
2
,
2 1
2 2
）。
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
n
E( X ) xk pk k 1
E(X ) xf (x)dx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
Y=g(X)
Y=g(X)
n
E(Y ) g(xk ) pk k 1
E(Y ) g(x) f (x)dx
方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差
(X ) D(X ) ，
D( X ) [xk E( X )]2 pk
1 ex , F(x)
0,
x 0,
记住积分公式
x<0x。n e x dx n!
0
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
正态分布
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 、 的 正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N (, 2 ) 。
边缘分布 离散型
连续型 离散型
X 的边缘分布为
Pi• P(X xi ) pij (i, j 1,2, ) ；
j
Y 的边缘分布为
P• j P(Y y j ) pij (i, j 1,2, ) 。
i
X 的边缘分布密度为
f X (x)
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
fY ( y)
Φ(-x)＝1-Φ(x)且
Φ(0)＝
1
பைடு நூலகம்。如果
X
~
N(,
2
)
，则
2
P( x1
X
x2 )
x2
x1
。
函数分 布
离散型
连续型
已知 X 的分布列为
X
x1, x2, , xn,
，
P( X xi) p1, p2, , pn,
Y g(X ) 的分布列（ yi g(xi ) 互不相等）如下：
,l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
几何分布
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b]
上为常数 1 ，即 ba
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间
（ x1 , x2 ）内的概率为
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b 其他
P( x1
X
x2 )
x2 b
x1 a
ex ,
x 0,
指数分布
f (x)
0,
x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
Cii ， 2
C
i2
2 i
i
i
函数分布
若 X1, X2 Xn 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
Fx1 (x)，Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函
数为：
Z=max,min(X
1,X2,…Xn)
Fmax(x) Fx1 (x) • Fx2 (x) Fxn (x)
第 1 章 随机事件及其概率