微积分一练习题及答案 Prepared on 22 November 2020
《微积分（1）》练习题
一． 单项选择题
1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ）
A ． ()()()0000lim x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆
B ．()()
()0000lim x f x x f x x f x '-=∆-∆-→∆
C ．()()
()00002lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()000021
2lim x f h x f h x f h '=-+→
2．下列极限不存在的有（ ）
A ．201sin lim x x x →
B ．12lim 2+-+∞→x x
x x
C ． x x e 10lim →
D ．()x x x x +-∞→63
2
213lim
3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）
A ．x e 22--
B ．x e 2-
C ．x e 24-
D ． x xe 22--
4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1
,11,11
0,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；
B ．无穷间断点；
C ．可去间断点；
D ．振荡间断点
5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）
A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ；
B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；
C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；
D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；
6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()
1lim -=-'→a x x f a x ，则下列结论成立的有（
）
A ．a x =是()x f 的极小值点；
B ．a x =是()x f 的极大值点；
C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；
D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；
二． 填空：
1．设⎪⎭⎫ ⎝
⎛=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y
3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为
4．曲线()2142-+=x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为
5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f
三． 计算题：
（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x
（3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy （5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy
四． 试确定a ，b ，使函数()()⎩
⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
五． 试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21e x e x x +<
<⋅ 六． 设()()()()a x a x a f x f x F >--=,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于
零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
《微积分》练习题参考答案
七． 单项选择题
1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ）
八． 填空：（每小题3分，共15分）
1． ⎪⎭⎫
⎝⎛'--x f x x 1
arcsin 112
2． ()06=y
3． 12+=x y
4． 2-=y ， 0=x
5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=
三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞→⎪⎭⎫
⎝⎛-x x x x
（3）x x x x 3sin )1ln(lim 2
0+→ （4）()[]2
21ln x y -= 求dy
（5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy
又10-=⇒=y x
（
九． 试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。
（8分）
解：()()[]22sin 1lim 000++=+++=++→b a a x b f x
()[]01lim 000=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f 02=++b a ，
（1）
函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a
十． 试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21
e x e x x +<<⋅ （8分）
证：（法一）设()t e t f = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有 整理得：()e xe 21e x e x
x +<<⋅
法二：设()ex e x f x -=
()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时，为增函数， ()()01=>-=f ex e x f x ，即ex e x >
设()()
e xe e x
f x x +-=21 ()()()()1012121><-=+-='x x e xe e e x f x x x x 故()()e xe e x f x x +-=2
1在1>x 时，为减函数， ()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ，即()e xe 21e x
x +< 综上，()e xe 21
e x e x x +<<⋅
十一． 设()()()
()a x a x a f x f x F >--=，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，
()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。
（5分） 证：()()()()()()
2)(a x a f x f a x x f x F ----'='
故()x F 在()+∞,a 内单调递增。