【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之138复合函数的导数一、选择题（共29小题；共145分）1. 若y=f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y=fʹ(x)( )A. 既是周期函数，又是奇函数B. 既是周期函数，又是偶函数C. 不是周期函数，是奇函数D. 不是周期函数，是偶函数2. 函数y=sin(2x2+x)的导数是( )A. yʹ=cos(2x2+x)B. yʹ=2xsin(2x2+x)C. yʹ=(4x+1)cos(2x2+x)D. yʹ=4cos(2x2+x)3. 下列函数求导正确的个数是( )（1）y=ln3，则yʹ=13（2）y=√2x−1，则yʹ=√2x−1（3）y=e2x+1，则yʹ=2e2x+1（4）y=xsinx ，则yʹ=sinx−cosx(sinx)2A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数y=x n e−x，则其导数yʹ=( )A. nx n−1e−xB. x n e−xC. 2x n e−xD. (n−x)x n−1e−x5. 函数f(x)=(2πx)2的导数是( )A. fʹ(x)=4πxB. fʹ(x)=4π2xC. fʹ(x)=8π2xD. fʹ(x)=16πx6. 已知函数f(x)=asin3x+bx3+1(a∈R,b∈R)，fʹ(x)为f(x)的导函数，则f(1)+f(−1)+ fʹ(2)−fʹ(−2)=( )A. 2B. 1C. −1D. 07. 下列函数求导数，正确的个数是( )①(e2x)ʹ=e2x；②[(x2+3)8]ʹ=8(x2+3)⋅2x；③(ln2x)ʹ=2x；④(a2x)ʹ=2a2x−1A. 0B. 1C. 2D. 38. 函数y=cos(lnx)的导数yʹ=( )A. ln(sinx)B. sin(lnx)C. −1x sin(lnx) D. 1xsin(lnx)9. 设y=ln(2x+e−x)，则yʹ等于( )A. 12x+e−x B. 2x ln2−e−x2x+e−xC. x2ln2sin2−e−x2x+e−xD. x2x−1−e−x2x+e−x10. 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 1211. 设函数f(x)=cos(√3x+φ)(−π<φ<0)，若f(x)+fʹ(x)是偶函数，则φ=( )A. π3B. −π3C. π6D. −π612. 函数y=√x2+12x−1的导数为( )A.√1+x2(2x−1)2B.√x2+1(2x−1)2C. 4x2−x+2(2x−1)2D. 2(2x−1)2√x2+113. 函数y=sin23x+5cosx2的导数为( )A. 2sin3x−5sinx2B. sin6x−10xsinx2C. 3sin6x+10xsinx2D. 3sin6x−10xsinx214. 设y=√1+a+√1−x，则yʹ等于( )A.2√1+a2√1−x B.2√1−xC.2√1+a2√1−x D.2√1−x15. 已知函数f(x)=12x2sinx+xcosx，则其导函数fʹ(x)的图象大致是( )A. B.C. D.16. 函数y=1−lnx1+lnx的导数为( )A. yʹ=−2(1+lnx)2B. yʹ=2x(1+lnx)2C. yʹ=−1x(1+lnx)2D. yʹ=−2x(1+lnx)217. 函数y=sinx(cosx+sinx)的导数是( )A. cos2x−sin2xB. sin2x−cos2xC. sin2x+cos2xD. 12(sin2x+cos2x) 18. 下列求导数运算正确的是( )A. (1x−3)ʹ=−3x4B. (log2x)ʹ=ln2xC. (log2x)ʹ=log2exD. (2x)ʹ=2x log2e19. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，且其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M(t)=M02−t30，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137的含量的变化率是−10ln2（太贝克/年），则M(60)=( )A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln2太贝克D. 150太贝克20. 已知函数f(x)=sin(2x+π12)，fʹ(x)是f(x)的导函数，则函数y=2f(x)+fʹ(x)的一个单调递减区间是( )A. [π12,7π12] B. [−5π12,π12] C. [−π3,2π3] D. [−π6,5π6]21. 若函数f(x)=12sin2x+acosx在(0,π)上单调递增，则a的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. [−1,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)22. 若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n的展开式中的各项系数和为243，则a1+2a2+⋯+na n=( )A. 405B. 810C. 243D. 6423. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其导数fʹ(x)的图象如图所示，则f(π2)的值为( )A. 2√2B. √2C. −√22D. −√2424. 设函数f(x)=sin(ωx+π6)−1(ω>0)的导数fʹ(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( )A. x=π9B. x=π6C. x=π3D. x=π225. 设f(x)=sinx2，则fʹ(x)等于( )A. sin2xB. cosx2C. 2xsinx2D. 2xcosx226. 函数y=1x−sinx的图象大致是( )A. B.C. D.27. 函数y=sin4x4+cos4x4的导数是( )A. −14sinx B. −14cosx C. −12sinx D. −12cosx28. 函数y=(2+x3)2的导数为( )A. 6x5+12x2B. 4+2x3C. 2(2+x3)2D. 2(2+x3)⋅3x29. 已知函数f(x)=e2x，g(x)=lnx+12的图象分别与直线y=b交于A，B两点，则∣AB∣的最小值为( )A. 1B. e 12 C.2+ln22D. e−ln32二、填空题（共20小题；共100分）30. 设函数f(x)=ln(2−3x)5，则fʹ(13)=．31. 函数f(x)=cos(3−4x)−ln(x−2)的导函数是．32. 函数y=ln(x+√1+x2)的导数为．33. 设函数f(x)=2sin(3x+π4)，则fʹ(π4)=．34. 函数y=√x−1的导函数是．35. 若fʹ(x)是函数f(x)=xcos2x+3x−π4的导函数，则fʹ(π4)=．36. 已知f(x)=1−√x1+√x，则fʹ(x)=．37. 函数y=xsinx+cosx的导数是．38. 已知函数f(x)=ax3+3x2+5，若fʹ(−1)=9，则a的值是．39. 已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xfʹ(2)，则f(−1)与f(1)的大小关系为．40. 函数f(x)在R上的导数为fʹ(x)，又函数F(x)=f(x2−4)+f(4−x2)，则Fʹ(2)=．41. 已知函数f(x)=sin(2x+π3)cos2x(x∈(0,π4))，则fʹ(x)=．42. 函数y=ln(√x+1+x)的导数为．43. 已知R上的可导奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x)．若fʹ(1)=−1，则fʹ(5) = ．44. 若函数y=f(x)的导数yʹ=fʹ(x)仍是x的函数，就把yʹ=fʹ(x)的导数yʺ=fʺ(x)叫做函数y=f(x)二阶导数，记做y(2)=f(2)(x)．同样函数y=f(x)的n−1阶导数的导数叫做y= f(x)的n阶导数，表示y(n)=f(n)(x) .在求y=ln(x+1)的n阶导数时，已求得yʹ=1x+1，y(2)=−1(x+1)2，y(3)=1⋅2(x+1)3，y(4)=−1⋅2⋅3(x+1)4，⋯，根据以上推理，函数y=ln(x+1)的第n阶导数为．45. 函数f(x)=log2(2−x)的导数为．46. 已知函数f(x)=cos(√3x+φ)，若y=f(x)+fʹ(x)是偶函数，则φ=．47. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x)=x+e x，则fʹ(1)= .48. 若曲线f(x)=ax3+ln(−2x)存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．49. 已知 x =1，x =3 是函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0) 相邻的两个极值点，且 f (x ) 在 x =32 处的导数 fʹ(32)<0，则 f (13)= ．三、解答题（共26小题；共338分） 50. 求 y =sin 4(2x +π6)+cos 4(2x +π6) 的导数． 51. 求函数 y =√1−2x 2的导数．52. 求下列函数的导数：（1）y =(a +bx n )m ； （2）y =sin 3(x +1x )．53. 求下列函数的导数：（1）y =ln√x 2+1； （2）y =log 2(2x 2+3x +1)．54. 求下列函数的导数：（1）y =x (2x −1)2； （2）y =sin2x ； （3）y =e 2x−1．55. 求函数 y =sinxcosx 的导数．56. 求下列函数的导数：（1）y =e −2x ⋅sin3x ，x ∈(0,π3)；（2）y =x ⋅√1−x1+x (0<x <1)． 57. 求 y =ln √e x +23的导数．58. 已知函数 f (x ) 是可导函数，求下列函数的导数：（1）y =f (−1x )；（2）y =f (x 2+1)．59. 求下列函数的导数：（1）y =(x 2−2x +3)3； （2）y =sin 2(2x +π3)．60. 求函数 f (x )=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6) 的导数．61. 设函数 f (x )=cos(√3x +φ)(0<φ<π)，若 f (x )+fʹ(x ) 是奇函数，则 φ 的值是 ．62. 设函数 f (x )=(x −a )(x −b )(x −c )（其中 a ，b ，c 是两两不等的常数），求a fʹ(a )+b fʹ(b )+cfʹ(c )的值．63. 求下列函数的导数．（1）y =x ⋅tanx ；（2）y =(x +1)(x +2)(x +3)；（3）y=3sin4x．64. 证明：若函数f(x)为偶函数，则fʹ(x)为奇函数．65. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x−2)，又fʹ(1)=5，试求fʹ(15)的值．66. 求下列函数的导数：（1）y=x3+2x2−4x+5；（2）y=(x2+2)(2x−1)；（3）y=(3x−1)3．67. 求下列各函数的导数：（1）y=4x+1x；（2）y=e x sinx；（3）y=lnxx；（4）y=cos(2x+5)．68. 已知函数f(x)=ln∣x∣(x≠0)，函数g(x)=1fʹ(x)+afʹ(x)(x≠0)．（1）求函数y=g(x)的表达式；（2）若a>0，函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2，求a的值；（3）在（2）的条件下，求直线y=23x+76与函数y=g(x)的图象所围成图形的面积．69. 设函数f(x)=ax3−b2x2+c，其图象过点(0,1)．（1）当方程fʹ(x)−x+1=0的两个根分别为12，1时，求f(x)的解析式；（2）当a=23，b≠0时，求函数f(x)的极大值与极小值．70. 求下列函数的导数：（1）y=e sinx2；（2）y=cos[ln(3x2+x−2)]；（3）y=xln(x+1)+e 1 x．71. 已知函数f0(x)=cx+dax+b(a≠0,ac−bd≠0)，设f n(x)为f n−1(x)的导数，n∈N∗．（1）求f1(x)，f2(x)．（2）猜想f n(x)的表达式，并证明你的结论．72. 已知函数f(x)=ax3+bx2+(b−a)x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为fʹ(x)．（1）当a=13时，若不等式fʹ(x)>−13对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；（2）若函数f(x)为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y−3=0，关于x的方程f(x)=−14t在[−1,t](t>−1)上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．73. 设函数f(x)=acos2x+(a−1)(cosx+1)，其中a>0，∣f(x)∣的最大值为A．（1）求fʹ(x)；（2）求A；（3）证明∣fʹ(x)∣≤2A．74. 已知曲线f(x)=lnx+k在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)=xe x fʹ(x)．e x（1）求k的值和F(x)的单调区间；（2）已知函数g(x)=−x2+2ax（a为正实数），若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0,∞)，使得g(x2)<F(x1)，求实数a的取值范围．75. 设函数f(x)=αcos2x+(α−1)(cosx+1)，其中α>0，记∣f(x)∣的最大值为A．（1）求fʹ(x)；（2）求A；（3）证明∣fʹ(x)∣≤2A．答案第一部分 1. B【解析】因为 y =f (x ) 是周期函数，所以 f (x +T )=f (x )，两边同时求导，得 fʹ(x +T )(x +T )ʹ=fʹ(x )，即 fʹ(x +T )=fʹ(x )，所以导函数为周期函数．因为 y =f (x ) 是奇函数，所以 f (−x )=−f (x )，两边求导得 fʹ(−x )(−x )ʹ=−fʹ(x )，即 −fʹ(−x )=−fʹ(x )，所以 fʹ(−x )=fʹ(x )，即导函数为偶函数． 2. C3. B4. D5. C【解析】fʹ(x )=2(2πx )(2πx )ʹ=8π2x ． 6. A 7. A 8. C 9. B 10. C 11. B 12. B 13. D 14. D 15. C【解析】因为 f (x )=12x 2sinx +xcosx ，所以 fʹ(x )=12x 2cosx +cosx ，所以 fʹ(−x )=12(−x )2cos (−x )+cos (−x )=12x 2cosx +cosx =fʹ(x )，所以其导函数 fʹ(x ) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，当 x →+∞ 时，fʹ(x )→+∞． 16. D 17. C 18. C 19. D 【解析】因为 Mʹ(t )=−130ln2×M 0×2−t 30，所以 Mʹ(30)=−130ln2×M 0×2−3030=−10ln2，解得 M 0=600， 所以 M (t )=600×2−t30， 那么 M (60)=600×2−6030=600×14=150．20. A【解析】函数 f (x )=sin (2x +π12)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数， 则函数y =2f (x )+fʹ(x )=2sin (2x +π12)+2cos (2x +π12)=2√2sin (2x +π12+π4)=2√2sin (2x +π3), 由 2kπ+π2≤2x +π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，可得 kπ+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 所以函数的一个单调减区间为 [π12,7π12]．21. A 22. B 【解析】令 x =1 得 3n =243，即 n =5． 因为 [(2x +1)n ]ʹ=2n (2x +1)n−1=a 1+2a 2x +⋯+na n x n−1， 所以令 x =1，得 a 1+2a 2+⋯+na n =2n ⋅3n−1=2×5×34=810． 23. D 【解析】依题意得 fʹ(x )=Aωcos (ωx +φ)， 结合函数 y =fʹ(x ) 的图象可知，T =2πω=4(3π8−π8)=π，ω=2．又 Aω=1，因此A=12．因为0<φ<π，3π4<3π4+φ<7π4，且fʹ(3π8)=cos(3π4+φ)=−1，所以3π4+φ=π，φ=π4，f(x)=12sin(2x+π4)，f(π2)=12sin(π+π4)=−12×√22=−√24.24. A 25. D26. A 【解析】f(−x)=1−x+sinx=−f(x)，故函数是奇函数，图象应关于原点对称，排除 BC因为(x−sinx)ʹ=1−cosx≥0，所以当x>0时，函数x−sinx单调递增，故1x−sinx单调递减．27. A 28. A 29. C第二部分30. −1531. 4sin(3−4x)−1x−232.√1+x233. −634. √x−12(x−1)35. −π2+ln336. 2(1−x)237. xcosx38. 539. f(−1)>f(1)【解析】f(x)=x2+2xfʹ(2)两边求导得fʹ(x)=2x+2fʹ(2)，令x=2，得fʹ(2)=−4．40. 041. 1cos22x42. √x+1+12(x+1)+2x√x+143. −1【解析】因为f(x+3)=f(x)，所以fʹ(x+3)=fʹ(x)．又因为f(−x)=−f(x)，所以−fʹ(−x)=−fʹ(x)，所以fʹ(−x)=fʹ(x)．fʹ(5)=fʹ(2)=fʹ(−1)=fʹ(1)=−1．44. y(n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n45. −1(2−x)ln246. −π3+kπ，k∈Z47. 2【解析】令e x=t，则x=lnt，所以f(x)=lnx+x .由导数的定义知fʹ(x)=1+1x，从而fʹ(1)=1+1=2 .48. (0,+∞)49. 12【解析】由fʹ(x)=ωcos(ωx+φ)（ω>0），fʹ(1)=ωcos(ω+φ)=0，fʹ(3)=ωcos(3ω+φ)= 0 .所以fʹ(x)=ωcos(ωx+φ)最小正周期为4，2πω=4，ω=π2.结合fʹ(1)=ωcos(π2+φ)=0，fʹ(3)=ωcos(3π2+φ)=0，所以φ=kπ，k∈Z .又fʹ(32)=ωcos(3π4+kπ)<0，所以k为偶数，所以f(13)=sin(π6+kπ)=12.第三部分50. 因为y=[sin2(2x+π6)+cos2(2x+π6)]2−2sin2(2x+π6)cos2(2x+π6)=1−sin 2(4x+π3)2=1−1−cos(8x+23π)4=34+cos(8x+23π)4,所以yʹ=[34+cos(8x+23π)4]ʹ=−14sin(8x+23π)⋅(8x+23π)ʹ=−2sin(8x+23π).51. yʹ=(1−2x2)√1−2x2．52. （1）yʹ=b⋅n⋅x n−1m(a+bx n)m−1．（2）yʹ=3(1−1x2)sin2(x+1x)cos(x+1x)．53. （1）yʹ=xx2+1．（2）yʹ=(4x+3)log2e2x2+3x+1．54. （1）由y=x(2x−1)2=x(4x2−4x+1)=4x3−4x2+x，求导得yʹ=12x2−8x+1．（2）由y=sin2x=2sinxcosx，求导得yʹ=(2sinxcosx)ʹ=2(sinxcosx)ʹ=2(cosxcosx−sinxsinx)=2cos2x．（3）yʹ=(e2x−1)ʹ=e2x−1(2x−1)ʹ=2e2x−1．55. 因为y=sinxcosx=12sin2x，所以yʹ=(12sin2x)ʹ=12cos2x×(2x)ʹ=cos2x．56. （1）法一：yʹ=(e−2x)ʹ⋅sin3x+e−2x⋅(sin3x)ʹ=−2⋅e−2x⋅sin3x+3e−2x⋅cos3x=e−2x(3cos3x−2sin3x).法二：注意到y>0，两边取对数得lny=ln(e−2x⋅sin3x)，x∈(0,π3)，即lny=−2x+ln(sin3x)，x∈(0,π3)．由复合函数的求导法则可得yʹy =−2+3cos3xsin3x=−2sin3x+3cos3xsin3x，所以yʹ=3cos3x−2sin3xsin3x⋅e−2x sin3x=e−2x(3cos3x−2sin3x)．（2）易知y>0，两边取对数得lny=ln(x⋅√1−x1+x )=lnx+12[ln(1−x)−ln(1+x)]．由复合函数的求导法则可得yʹy =1x+12(−11−x−11+x)=1x−11−x2．所以yʹ=y(1x −11−x2)=x⋅√1−x1+x ⋅(1x−11−x2)=√1−x1+x ⋅1−x−x21−x2.57. 因为y=ln(e x+2)13=13ln(e x+2)，所以yʹ=[13ln(e x+2)]ʹ=13⋅1e x+2⋅(e x+2)ʹ=e x3(e x+2)．58. （1）设y=f(u)，u=−1x，则yʹx=yʹu⋅uʹx=fʹ(u)⋅(−1x )ʹ=fʹ(−1x)⋅1x2=1x2⋅fʹ(−1x)．（2）设y=f(u)，u=x2+1，则yʹx=yʹu⋅uʹx=fʹ(u)⋅2x=2xfʹ(x2+1)．59. （1）法一：设u=x2−2x+3，则y=u3，yʹx=yʹu⋅uʹx=3u2⋅(2x−2)=3⋅(x2−2x+3)2⋅(2x−2)=6(x−1)(x2−2x+3)2.法二：yʹ=[(x2−2x+3)3]ʹ=3(x2−2x+3)2⋅(x2−2x+3)ʹ=3(x2−2x+3)2⋅(2x−2)=6(x−1)(x2−2x+3)2.（2）yʹ=2sin(2x+π3)⋅[sin(2x+π3)]ʹ=2sin(2x+π3)⋅cos(2x+π3)⋅(2x+π3)ʹ=4sin(2x+π3)cos(2x+π3)=2sin(4x+2π3).60. 对函数f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5)(x−6)两边取对数得lgf(x)=lg(x−1)+lg(x−2)+lg(x−3)−lg(x−4)−lg(x−5)−lg(x−6)．两边对x求导得fʹ(x)f(x)=1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6．所以fʹ(x)=f(x)(1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6)=(x−1)(x−2)(x−3) (x−4)(x−5)(x−6)(1x−1+1x−2+1x−3−1x−4−1x−5−1x−6).61. π662. 因为fʹ(x)=(x−a)ʹ(x−b)(x−c)+(x−a)[(x−b)(x−c)]ʹ=3x2−2(a+b+c)x+ab+bc+ca,所以fʹ(a)=3a2−2a(a+b+c)+ab+bc+ca=(a−b)(a−c)．同理fʹ(b)=(b−a)(b−c)，fʹ(c)=(c−a)(c−b)．于是a fʹ(a)+bfʹ(b)+cfʹ(c)=a(a−b)(a−c)+b(b−a)(b−c)+c(c−a)(c−b)=−a(b−c)−b(c−a)−c(a−b)(a−b)(b−c)(c−a)=−ab+ac−bc+ab−ca+bc(a−b)(b−c)(c−a)=0.63. （1）yʹ=(x⋅tanx)ʹ=xʹtanx+x(tanx)ʹ=tanx+x⋅(sinxcosx)ʹ=tanx+x⋅cos2x+sin2xcos2x=tanx+xcos2x.（2）yʹ=(x+1)ʹ(x+2)(x+3)+(x+1)⋅[(x+2)(x+3)]ʹ=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3x2+12x+11.（3）yʹ=(3sin4x)ʹ=3cos4x⋅(4x)ʹ=12cos4x．64. 因为f(x)偶函数，所以f(−x)=f(x)．两边对x求导，得fʹ(−x)(−x)ʹ=fʹ(x)，所以−fʹ(−x)=fʹ(x)，即fʹ(−x)=−fʹ(x)．所以fʹ(x)为奇函数65. 因为f(x+2)=f(x−2)对任意x∈R都成立，所以f(x)=f(x+2−2)=f(x+2+2)=f(x+4)对任意x∈R都成立．所以f(x)是周期为4的周期函数．对f(x)=f(x+4)两边求导得fʹ(x)=(f(x+4))ʹ=fʹ(x+4)⋅(x+4)ʹ=fʹ(x+4)．即fʹ(x)也是周期为4的周期函数，所以fʹ(15)=fʹ(16−1)=fʹ(−1)．又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(−x)=f(x)．两边求导得(f(−x))ʹ=fʹ(−x)⋅(−x)ʹ=−fʹ(−x)=fʹ(x)．即fʹ(−x)=−fʹ(x)，所以fʹ(x)是奇函数，所以fʹ(15)=fʹ(−1)=−fʹ(1)=−5．66. （1）yʹ=(x3)′+(2x2)′−(4x)′+(5)′=3x2+4x−4．（2）因为y=2x3−x2+4x−2，所以yʹ=6x2−2x+4．或yʹ=(x2+2)′(2x−1)+(x2+2)(2x−1)′=2x(2x−1)+2(x2+2)=6x2−2x+4．（3） yʹ=[(3x −1)3]′=3(3x −1)2(3x −1)′=3(9x 2−6x +1)×3=81x 2−54x +9．67. （1）yʹ=(4x +1x)ʹ=(4x )ʹ+(1x )ʹ=4−1x 2.（2） yʹ=(e x sinx )ʹ=(e x )ʹsinx +e x (sinx )ʹ=e x sinx +e x cosx.（3）yʹ=(lnxx)ʹ=(lnx )ʹx−xʹlnx x 2=1−lnx x 2.（4） yʹ=[cos (2x +5)]ʹ=−sin (2x +5)(2x +5)ʹ=−2sin (2x +5).68. （1） 因为 f (x )=ln ∣x ∣， 所以当 x >0 时，f (x )=lnx ； 当 x <0 时，f (x )=ln (−x )．所以当 x >0 时，fʹ(x )=1x ；当 x <0 时，fʹ(x )=1−x⋅(−1)=1x．因此函数 y =g (x )=x +a x ．（2） 由（1）知当 x >0 时，g (x )=x +ax ，gʹ(x )=1−a x 2=x 2−a x 2，令 gʹ(x )=0，因为 a >0， 所以 x =√a ，当 x ∈(0,√a) 时，gʹ(x )<0，当 x ∈(√a +∞) 时，gʹ(x )>0， 所以 g (x ) 在 (0,+∞) 上的最小值是 g(√a)=√a √a=2√2=2，得 a =1．（3） {y =23x +76,y =x +1x . 解得 {x 1=32,y 1=136, 或 {x 2=2,y 2=52. 所以所求图形的面积为 S =∫322[(23x +76)−(x +1x )]dx =724+ln3−2ln2．69. （1） 由题意可知，f (0)=1，所以 c =1． 由 f (x )=ax 3−b2x 2+1，得 fʹ(x )=3ax 2−bx ．因为 fʹ(x )−x +1=0，即 3ax 2−bx −x +1=0 的两个根分别为 12，1 所以 {3a ×14−b2−12+1=0,3a −b −1+1=0, 解得 {a =23,b =2, 故 f (x )=23x 3−x 2+1．（2） f (x )=23x 3−b2x 2+c ，所以 fʹ(x )=2x 2−bx =2x (x −b2)． ①若 b >0，则当 x ∈(−∞,0) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增； 当 x ∈(0,b2) 时，fʹ(x )<0，函数 f (x ) 单调递减； 当 x ∈(b 2,+∞) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增．因此，f (x ) 的极大值为 f (0)=c =1，f (x ) 的极小值为 f (b2)=1−b 324．②若 b <0，则当 x ∈(−∞,b2) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增； 当 x ∈(b2,0) 时，fʹ(x )<0，函数 f (x ) 单调递减； 当 x ∈(0,+∞) 时，fʹ(x )>0，函数 f (x ) 单调递增．因此，f (x ) 的极大值为 f (b2)=1−b 324，f (x ) 的极小值为 f (0)=1． 综上所述，当 b >0 时，f (x ) 的极大值为 1，极小值为 1−b 324； 当 b <0 时，f (x ) 的极大值为 1−b 324，极小值为 1．70. （1） yʹ=e sinx 2⋅cosx 2⋅2x ． （2） yʹ=−sin [ln (3x 2+x −2)]⋅6x+13x 2+x−2．（3） yʹ=ln (x +1)+xx+1+e 1x⋅(−1)x −2．71. （1） f 1(x )=f 0ʹ(x )=bc−ad(ax+b )2，f 2(x )=f 1ʹ(x )=[bc−ad(ax+b )2]ʹ=−2a (bc−ad )(ax+b )3； （2） 猜想 f n (x )=(−1)n−1⋅a n−1⋅(bc−ad )⋅n!(ax+b )n+1，n ∈N ∗，证明：①当 n =1 时，由（1）知结论正确； ②假设当 n =k ，k ∈N ∗时，结论正确，即有 f k (x )=(−1)k−1⋅a k−1(bc−ad )⋅k!(ax+b )k+1，f k+1(x )=f k ʹ(x )=(−1)k−1a k−1(bc −ad )⋅k![(ax +b )−(k+1)]ʹ=(−1)k ⋅a k ⋅(bc−ad )⋅(k+1)!(ax+b )k+2. 所以当 n =k +1 时结论成立，由 ①②得，对一切 n ∈N ∗ 结论正确． 72. （1） 当 a =13 时，fʹ(x )=x 2+2bx +b −13，依题意 fʹ(x )=x 2+2bx +b −13>−13，即 x 2+2bx +b >0 恒成立． 所以 Δ=4b 2−4b <0，解得 0<b <1，所以 b 的取值范围是 (0,1)．（2） 因为 f (x )=ax 3+bx 2+(b −a )x 为奇函数，所以 b =0，所以 f (x )=ax 3−ax ，fʹ(x )=3ax 2−a ．又 f (x ) 在 x =1 处的切线垂直于直线 x +2y −3=0，所以 a =1，即 f (x )=x 3−x ． 所以 f (x ) 在 (−∞,−√33)，(√33,+∞) 上是单调递增函数，在 [−√33,√33] 上是单调递减函数，由 f (x )=0，解得 x =±1，x =0， 如图所示，作 y =f (x ) 与 y =−t4的图象，若只有一个交点，则①当 −1<t ≤−√33时，f (t )≥−14t ≥0，即 t 3−t ≥−t 4，解得 −√32≤t ≤−√33；②当 −√33<t <0 时，f (t )>−14t ≥0， 解得 −√33<t <0；③当 t =0 时，不成立；④当 0<t ≤√33时，f (t )≤−14t <0，即 t 3−t ≤−t4，解得 0<t ≤√33；⑤当 1≥t >√33 时，f (t )<−14t <0解得 √33<t <√32；⑥当 t >1 时，−t 4=f (√33)⇒t =8√39，综上 t 的取值范围是 −√32≤t <0 或 0<t <√32或 t =8√39． 73. （1） fʹ(x )=−2asin2x −(a −1)sinx ．（2） f (x )=a (2cos 2x −1)+(a −1)cosx +a −1， 令 cosx =t ，t ∈[1,−1]，f (t )=a (2t 2−1)+(a −1)t +a −1=2at 2+(a −1)t −1， 关于 t 的一元二次函数对称轴为 t =14a −14． ①当 t =14a−14≥1，即 0<a ≤15时，∣f (−1)∣=a ，∣f (1)∣=∣2−3a ∣=2−3a ，则 A =∣f (1)∣=∣2−3a ∣=2−3a ． ②当 0<t =14a −14<1，即 15<a <1 时，A =∣f (−1)∣ 或 A =∣f (14a −14)∣， ∣f (−1)∣=a,∣f (14a −14)∣=a 2+6a+19a，令 ∣f (14a −14)∣>∣f (−1)∣，解得：−17<a <1， 故 A =∣f (14a −14)∣=a 2+6a+18a．③当 −1<t =14a −14≤0，即 a ≥1 时，A =∣f (1)∣ 或 A =∣f (14a −14)∣， 令 ∣f (14a −14)∣>∣f (1)∣，即a 2+6a+18a>3a −2，解得：(a−1)(23a+1)<0，该不等式在a≥1时恒不成立，故∣f(14a −14)∣<∣f(1)∣，故A=∣f(1)∣=∣2−3a∣=3a−2．综上A={2−3a, 0<a≤15, a2+6a+18a, 15<a<1, 3a−2, a≥1,（3）由（1）得∣fʹ(x)∣=∣−2asin2x−(a−1)sinx∣≤2a+∣a−1∣．当0<a≤15时，∣fʹ(x)∣≤1+a≤2−4a<2(2−3a)=2A．当15<a<1时，A=a8+18a+34≥1，所以∣fʹ(x)∣≤1+a<2A．当a≥1时，∣fʹ(x)∣≤3a−1≤6a−4=2A，所以∣fʹ(x)∣≤2A．74. （1）fʹ(x)=1x−lnx−ke x，由题知fʹ(1)=1−ke=0，所以，k=1，fʹ(x)=1x−lnx−1e x，所以F(x)=xe x fʹ(x)=1−xlnx−x，所以Fʹ(x)=−lnx−2．由Fʹ(x)=−lnx−2>0，得0<x<1e2，由Fʹ(x)=−lnx−2≤0，得x≥1e2，所以F(x)的单调递增区间为(0,1e2)，单调递减区间为(1e2,+∞)．（2）因为，对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0,+∞)，使得g(x2)<F(x1)，所以，g(x)max<F(x)max．由（1）知，当x=1e2时，F(x)取得最大值F(1e2)=1+1e2．对于g(x)=−x2+2ax，其对称轴为x=a．①当0<a≤1时，g(x)max=g(a)=a2，所以a2<1+1e2，从而0<a≤1；②当a>1时，g(x)max=g(1)=2a−1，所以2a−1<1+1e2，从而1<a<1+12e2．综上可知，0<a<1+12e2．75. （1）fʹ(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）当α≥1时，∣f(x)∣=∣αcos2x+(α−1)(cosx+1)∣≤α+2(α−1)=3α−2=f(0).因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是∣g(t)∣在[−1,1]上的最大值，g (−1)=α，g (1)=3α−2，且当 t =1−α4α 时，g (t ) 取得极小值， 极小值为 g (1−α4α)=−(α−1)28α−1=−α2+6α+18α．令 −1<1−α4α<1，解得 α<−13（舍去），α>15．①当 0<α≤15 时，g (t ) 在 (−1,1) 内无极值点， ∣g (−1)∣=α，∣g (1)∣=2−3α，∣g (−1)∣<∣g (1)∣， 所以 A =2−3α．②当 15<α<1 时，由 g (−1)−g (1)=2(1−α)>0，知 g (−1)>g (1)>g (1−α4α)．又 ∣∣g (1−α4α)∣∣−∣g (−1)∣=(1−α)(1+7α)8α>0， 所以 A =∣∣g (1−α4α)∣∣=α2+6α+18α．综上，A ={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α−2,α≥1.（3） 由（1）得 ∣fʹ(x )∣=∣−2αsin2x −(α−1)sinx ∣≤2α+∣α−1∣． 由（2）得当 0<α≤15 时，∣fʹ(x )∣≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A ． 当 15<α<1 时，A =α8+18α+34>1，所以 ∣fʹ(x )∣≤1+α<2A ．当 α≥1 时，∣fʹ(x )∣≤3α−1≤6α−4=2A ． 所以 ∣fʹ(x )∣≤2A ．。