二、极坐标系
教学目标：
知识与技能
（1）认识极坐标系；能在极坐标系中，用极坐标刻画点的位置；
（2）体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。

过程与方法
通过生活实际问题，引导学生探究、发现，激发学生的好奇心，进而得出建立极坐标系的必要性。

情感、态度与价值观
通过多媒体展示现实生活中的图片，激发学生好奇心和求知欲；培养学生“学数学，用数学”
的应用意识，让学生切身体会“数学源于生活，服务于生活”。

教学重点和难点：
重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；认识点与极坐标之间的对应关系。

教学基本流程：
一、建立问题情景，体会引进新坐标系的必要性。

大家有没有见过这种图片？台风的卫星云图。

众所周
知台风危害很大，所以我们非常关注台风中心的位置。

气象台会把它和平面地图组合起来从而得到一张台风
的路径图。

根据路径图，及时播报台风中心的位置。

从小
到大我们听过很多次台风预报。

今天也请大家来当一回主
播，根据这张图你来描述一下台风中心位置。

【设计意图】引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角
和距离刻画点的位置的直觉。

让学生称为学习的主人，积
极参与。

看一下气象台是怎么播报的：“今年第8号台风“凤
凰”，今天下午4时中心位置已经到达温州东南偏南方向大
约800公里附近的洋面上，也就是在北纬22.3度，东经123.8度”（利用信息技术，播放这段视频，给学生更为直观地感受，也能更加激发学生此时学习的热情。

在此，要及时评价学生的描述，加以表扬和补充。

）
问：哪些条件刻画了台风中心的位置?
东经123.8度，北纬22.3度。

温州东南偏南方向大约800公里的海面上。

经纬度可以准确刻画地球表面任意一点的位置，在这张平面地图上，
相交的两条经纬线，是不是也准确刻画了这张平面地图上的任意一点？如
果把平面地图延伸开来，经纬线是不是也能刻画整个平面上任意一点的位
置？你得到什么样的启发？
1637年笛卡尔受天文地理的经度、纬度启发,创建了平面直角坐标系,用横坐标和纵坐标确定平面中任意一点的位置。

平面直角坐标系我们研究得很透彻了，今天就不研究了。

再来看天气预报，“也就是”，这三字说明两种定位方式都可以确定台风中心的位置。

【设置疑问】为什么台风预报时两个都会提及?（一个精确，一个通俗易懂形象）
我们就用大家熟悉的定位方式来刻画一下台风中心的位置。

用参照点、角度和距离刻画平面中的点的思想，就称为极坐标思想，这样建立起来的坐标系就称为极坐标系（板书课题）
【设计意图】引导学生通过类比，尝试自己建立极坐标系，再通过交流合作，（当学生遇到困难时，适时提醒必修五中学习的方位角概念）解决问题，教师加以引导、补充。

从而告诉学生：引进极坐标系的概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉。

二、极坐标系的概念
给出概念：（多媒体演示，教师板书，学生在课本中画
出）
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox,
叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度)
及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标
系.
如图：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为；
ρ以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为；
θ有序实数对( )叫做点M 的极坐标,记为；
,ρθ(,)M ρθ
一般地,不做特殊说明时,我们认为（教师板书）
0,ρθ≥∈R 【小试身手】如图在平面地图上建立极坐标，试写出台风中心的极坐标（学生思考、口55(800,)(800,)(800,)(800,2)3333
k πππππ→-→→+答，教师多媒体展示，教师板书）
例题讲解：课本P9-10例1和例2，多媒体展示
【设计意图】初步熟悉极坐标系的有关概念。

教师提问：直角坐标系下，点与它的坐标一一对应，在极坐标系下，点与它的极坐标是否也有一一对应的关系呢？
【设计意图】通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。

教师展示和板书结论：
极点O 的极坐标？，我们发现给出一个点对应的极坐标不唯一；反过(0,0)(0,)R θθ∈→来，
如果给出一个极坐标(2,),那它对应的点是否唯一?（唯一）
π；除极点外,平面内点可用唯一的极坐标()表示;同时,极坐0,02ρθπ>≤<如果规定,ρθ标()表示的点也是唯一的。

,ρθ【设计意图】引导学生通过类比尝试自己建立极坐标系，初步熟悉极坐标系的有关概念。

三、极坐标系与平面直角坐标系的区别
现在我们学习了两种坐标系，我们来比较一下它们有哪些区别？ 平面直角坐标系
极坐标定位方式
横坐标、纵坐标角度和距离点与坐标
点与坐标一一对应点与极坐标不一一对应外在形式
原点，x ，y 轴极点，极轴本质两线相交定点圆与射线相交定点
【设计意图】通过比较，辨析极坐标系，进一步认识极坐标系的特点。

四、极坐标系的历史
平面直角坐标系是由笛卡儿创建的，问：又是谁第一个提出极坐标系？他为什么要提出极坐标系?
伯努利(瑞士)：1691年《教师学报》最先发表了上述有关极坐标系的理论；
丹尼尔·伯努利，(Daniel Bernoulli 1700~1782)瑞士物理学家、数学家、医学家。

1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。

著名的伯努利家族中最杰出的一位。

他是数学家J.伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商
学教授，后任动力学教授，1750年成为物理学教授。

牛
顿(英国)：完成于1671年，发表于1736年《流数法与无穷级数》---把极坐标看成是
确定平面上的点的位置的方法,并与其他9种坐标系进行转换；
并为幂级数的研究做出了贡献。

数学家们认为极坐标有着很大的作用，并实现了它与其他坐标系的转换，现在我们也学习了两种坐标系，那我们也来转换一下看看。

【设计意图】通过数学史的介绍，使学生进一步认识极坐标系的来源，接受数学文化的熏陶，培养学生一定的数学文化修养；并过渡至坐标系的转换。

五、极坐标与平面直角坐标的互化
【设计意图】引导学生认识建立两种坐标之间关系的基本思想。

为实现转换，要把两个坐标系放在同一个平面中，应当如何建立这两个坐标系呢？
原点与极点重合，极轴与x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度。

牛顿也是这样想的，具体来试一下；
试一试：试将刚才所描述的台风中心的极坐标化成直角坐标5(800,)3
π（教师板书）55800cos ,800sin 33
x y ππ=⨯=⨯设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
，极坐标是，那么两者之间的关
(,)x y (,)ρθ系？ ，（板书）cos ,sin x y ρθρθ==222,tan (0)y x y x x ρθ=+=
≠你能联想到过去所学的哪个知识？——任意角的三角函数的定义。

例题讲解：课本P11例3和例4
【设计意图】熟悉并记忆公式，由学生独立完成。

【探究思考】如左图 ,假设当距离台风中心700公里时应当发布台风蓝色警报，问福州是否已发布台风蓝色警报?4(200,)3
π
分析：本质是根据极坐标研究两点的距离。

解：根据图象：福州距离台风中心的距离为（多媒体展示，教师板书）
d =100700
==>所以还未发布橙色警报。

通过刚才这个例子我们是否可以猜测：。

1122(,),(,),
||A B AB ρθρθ=已知点则能否证明？
【设计意图】通过探究，目的是为了给出在极坐标系中计算两点间距离的公式，同时也告诉学生极坐标系下的两点坐标可以转化为平面直角坐标，在平面直角坐标系中加以证明。

（教师板书证明过程），再次强调，互化公式把两个坐标系紧密地联系在了一起。

六、定位思想和极坐标的提升
最后我们再来看这张卫星云图，大家看到这个云图，试想如果一个物体被台风卷了进去后，它可能会做什么样的运动？
研究：理想化条件下：
物体绕台风中心逆时针旋转，角速度弧度/小时，离台风中心的距离以5
12
公里/小时速度减小，到中心后停止，台风中心不动，在离台风中心100公
里A处放飞一个物体M，求t 小时后物体的位移？
分析：关键是确定t小时后物体的位置，哪种定位方式能更好确定位置呢？
结论：通过这个例子我们发现，在研究某些问题时，用极坐标系会更加方
便。

【设计意图】极坐标系引入的必要性，及定位思想的提升，带着问题下课。

七、课堂小结
【设计意图】整理知识，在比较中加深对极坐标系有关概念的认识。

1.极坐标系与哪些知识有联系？极坐标与直角坐标在刻画点的位置时有什么区别？
2.极坐标与平面直角坐标的互化
3.极坐标系下的两点距离公式
八、作业布置课本P12习题1.2第1、3、4、5题
九、板书设计。