天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科)一、选择题:(共40分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求） 1.有关下列命题的说法正确的是A.命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C.命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D.命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】若x 2=1,则x=1”的否命题为21x ≠,则1x ≠，即A 错误。

若2560x x --=，则6x =或1x =-，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 错误。

∃x ∈R,使得x 2+x+1<0的否定是∀x ∈R,均有210x x ++≥，所以C 错误。

命题若x=y,则sinx=siny 正确，所以若x=y,则sinx=siny 的逆否命题也正确，所以选D.2.定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3) 【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以(2)(2),(3)(3)f f f f -=-=，又函数在[0,)+∞上是增函数，所以由(2)(3)()f f f π<<，即(2)(3)()f f f π-<-<，选A.3.函数f(x)=sin2x-4sin 3xcosx(x ∈R)的最小正周期为 A.8π B.4π C.2πD.π【答案】C【解析】221()sin 22sin 2sin sin 2(12sin )sin 2cos 2sin 42f x x x x x x x x x =-=-==,所以函数的周期为2242T πππω===，选C.4.设函数sin()3y x π=+(x ∈R),则f(x)A.在区间[-π,2π-]上是减函数 B.在区间27[,]36ππ上是增函数 C.在区间[8π,4π]上是增函数 D.在区间5[,]36ππ上是减函数【答案】B 【解析】当2736x ππ≤≤时，2733363x πππππ+≤+≤+，即332x πππ≤+≤，此时函数sin()3y x π=+单调递减，所以sin()3y x π=+在区间27[,]36ππ上是增函数，选B.5.在∆ABC 中,A,B,C 为内角,且sin cos sin cos A A B B =,则∆ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】由sin cos sin cos A A B B =得sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰或直角三角形，选D.6.,,x y z 均为正实数,且22log xx =-,22log yy -=-，22log z z -=，则A. x y z <<B.z x y <<C.z y x <<D.y x z <<【答案】A【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以22log 1xx =->，即2log 1x <-，所以102x <<。

212log ()2y y y -=-=，因为10()12y <<，即20log 1y <-<，所以21log 0y -<<，即112y <<。

212log ()2z z z -==，因为10()12z <<，所以20log 1z <<，即12z <<，所以x y z <<，选A.7.已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++A.aB.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b + 与c共线，所以有a b mc += ，又b c + 与a 共线,所以有b c na += ，即b mc a =- 且b c na =-+ ，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=-- ，即0a b c ++=，选D.8.定义在R 上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x ≠0时, 1'()()0f x x f x -+>,则函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为A.1B.2C.0D.0或2【答案】C【解析】由1'()()0f x x f x -+>，得'()()0xf x f x x+>，当0x >时，'()()0xf x f x +>，即(())'0xf x >，函数()xf x 此时单调递增。

当0x <时，'()()0xf x f x +<，即(()'0x f x <，函数()xf x 此时单调递减。

又1()1()()xf x g x f x xx -+=+=，函数()1()xf x g x x+=的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数。

当0x >时，()11y xf x =+>，当0x <时，()11y xf x =+>，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数1()()g x f x x -=+的零点个数为0个。

选C.二、填空题:(共30分,每小题5分) 9.函数f(x)=a x+2+x a 的值域为_________.【答案】)+∞【解析】令t =则t >且22x t a =+，所以22x a t =-，所以原函数等价为2219()2()24y g t t t t ==-+=+-，函数的对称轴为12t =-，函数开口向上。

因为t >，所以函数在)+∞上函数单调递增，所以2()2g t g >=-=y >)+∞。

10.已知3sin cos 8x x =,且(,)42x ππ∈,则cos sin x x -=_________. 【答案】12-【解析】因为(,)42x ππ∈，所以sin cos x x <，即c o s s i n x x -<，所以21(cos sin )12sin cos 4x x x x -=-=，所以1cos sin 2x x -=-。

11.曲线1xy =与直线y=x 和y=3所围成的平面图形的面积为_________.【答案】4-ln3【解析】由1xy =得1y x =。

当13y x ==，解得13B x =，由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得1C x =，由3y y x=⎧⎨=⎩得3D x =.所以根据积分的应用知所求面积为13123111133111(3)(3)(3ln )(3)4ln 4ln 323dx x dx x x x x x -+-=-+-=+=-⎰⎰. 12.函数()sin(2)3f x x π=-(x ∈R)的图象为C,以下结论中:①图象C 关于直线1112x π=对称;②图象C 关于点2(,0)3π对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数;④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C.则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)【答案】①②③ 【解析】当1112x π=时，1111113)sin(2)=sin()=sin()=112123632f ππππππ=⨯---（，所以为最小值，所以图象C 关于直线1112x π=对称，所以①正确。

当23x π=时，22)sin(2)=sin =0333fππππ=⨯-（，所以图象C 关于点2(,0)3π对称;所以②正确。

2222k x k ππππ-+≤≤+，当51212x ππ-≤≤时，5266x ππ-≤≤，所以5263363x πππππ--≤-≤-，即2232x πππ-≤-≤，此时函数单调递增，所以③正确。

3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得到23sin 2()3sin(2)33y x x ππ=-=-，所以④错误，所以正确的是①②③。

13.点P(x,y)在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数,θ∈R)上,则y x 的取值范围是 .【答案】[ 【解析】消去参数θ得曲线的标准方程为22(2)1x y ++=，圆心为(2,0)-，半径为 1.设yk x =，则直线y k x =，即0kx y -=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d ==，即2k =，平方得222141,3k k k =+=，所以解得3k =±，由图象知k的取值范围是k ≤≤，即yx的取值范围是[。

14.如图过⊙0外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=7,C 是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则AB= .【解析】因为PA 是圆的切线，所以BAP APB ∠=∠，又C A C A P B ∠=，所以BAP ∆与BCA∆相似，所以AB PB CB AB=，所以27535AB PB CB ==⨯=，所以AB =。

三.解答题:15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率;(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.16.设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对 x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.17.已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),且5|AB|=2,(1)求cos(α-β)的值;(2)设α∈(0,π/2),β∈(-π/2,0),且cos(5π/2-β)=-5/13,求sinα的值.18.已知函数f(x)=2cosxsin(x+π/3)-3sin2x+snxcosx(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象沿水平方向平移m个单位后的图象关于直线x=π/2对称,求m的最小正值.19.已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)e x(x∈R),其中A∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;(2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.20.已知函数f(x)=aln(e x+1)-(a+1)x,g(x)=x2-(a-1)x-f(lnx), a∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)若对0≤x≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;(3)已知∆ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论∆ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.天津一中2012—2013学年高三数学一月考试卷(理科答案)一、选择题 1-4 DACB 5-8 DADC二、填空题,+∞) 10. -0.5 11. 4-ln3 12. ①②③13.[-3, 3]三、解答题 15.解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. E ξ=2*0.52+3*0.48=2.4816.解:p:∆<0且a>0,故a>2;q:a>2x-2/x+1,对∀x ∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1此时x=-1,故a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于p,q 一真一假.故1≤a≤2 17.解:(1)由题知552)sin (sin )cos (cos 22=β-α+β-α54)cos(22=β-α-∴,所以53)cos(=β-α(2) 02,20<β<π-π<α< π<β-α<∴0，又53)cos(=β-α54)sin(=β-α∴.而135)25cos(-=-βπ则135sin -=β1312cos =β∴6533])sin[(sin =+-=∴ββαα18.解 （1）xx x c x x x f cos sin sin 3)cos 23sin 21(cos 2)(2+-+=)32sin(22cos 32sin cos sin sin 3cos 3cos sin 22π+=+=+-+=x x x x x x x x.],127,12[)(,12712,2323222Z k k k x f Zk k x k Zk k x k ∈++∈+≤≤+∈+≤+≤+πππππππππππππ的单调递减区间为故函数得由（2）)232sin(2)32sin(2)0,(m x y x y m a -+=−−−→−+==ππ.125,0)(12)1(21)(22322.2)232sin(2πππππππππ的最小正值为时当对称的图象关于直线m k Z k k m Z k k m x m x y =∈---=∴∈+=-+⋅∴=-+=19.（1）解: .3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a xx=+===，故，时，当.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=（2）[].42)2()('22xe a a x a x xf +-++=解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。