数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（2）建立中国人口的Logistic 模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。
（3）利用MATLAB 图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。
（4）利用MATLAB 图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。
【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB 库函数为：ode45。
语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)四、高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。
已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。
要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。
（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。
（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？ （4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？【注】常微分方程高阶初值问题的MATLAB 库函数为：ode45。
语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0) 例如函数： function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); 设置选项：options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]); 求解得：[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options); 画出解函数曲线图形：plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')五、时间序列模型某一商场1—12月份的销售额（单位：万元）时间序列数据如下表所示。
要求：（1）建立恰当的数学模型，并预测下年一月份（第13月）的销售额。
（2）对所建立的几种预测方法作误差的分析与比较。
【注】（1）多项式拟合的MATLAB 库函数为：polyfit 语法为：[p,S] = polyfit(x,y,n) [p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 例如：x = (0: 0.1: 5)'; y = erf(x);f = polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-') axis([0 5 0 2])（2）自回归模型的MATLAB 库函数为：ar 语法为：m = ar(y,n)[m ,refl] = ar(y,n,approach,window) 例如：y = sin([1:300]') + 0.5*randn(300,1); y = iddata(y);mb = ar(y,4,'burg'); mfb = ar(y,4);六、多元回归模型设某公司生产的商品在市场一的销售价格为1x （元/件）、用于商品的广告费用为2x （万元）、销售量为y （万件）的连续12个月的统计数据如下表所示。
月份 销售价格1x广告费用2x销售量y 1100 5.50 55 2 90 6.30 70 3 80 7.20 90 4 70 7.00 100 5 70 6.30 90 6 70 7.35 105 7 70 5.60 80 8657.151109 60 7.50 125 10 60 6.90 115 11 55 7.15 130 12 50 6.50 130要求：（1）选择恰当的模型，建立销售量y 关于销售价格1x 和广告费用2x 的关系模型。
并利用MATLAB 画出曲线图形。
（2）设第13个月将该商品的销售价格定为80元/件，广告费用为7万元，预计该商品的销售量将是多少？并对其作统计上的误差分析。
【注】多元线性回归模型的MATLAB 库函数为：regress 。
语法为：[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X); 例如：load mooreX = [ones(size(moore,1),1) moore(:,1:5)]; y = moore(:,6);[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X);七、柯布-道格拉斯生产函数经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为1,0,),(<<=βαβαL aK L K Q其中L K Q ,,分别表示产值、资金、劳动力，式中a ,,βα要由经济统计数据确定。
现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员” ）。
表 经济统计数据年份 总产值/万亿元 资金/万亿元 劳动力/亿人 1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.13942000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.3740要求：（1）运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并作出模型的分析与检验。
（2）建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数βα,的解释。
（3）将几个模型作出比较与分析。
八、高压锅的销售量Logistic 增长曲线模型和Gompertz 增长曲线模型是计量经济学等学科中的两个常用模型，可以用来拟合销售量的增长趋势。
记Logistic 增长曲线模型为ktt aeL y -+=1，记Gompertz 增长曲线模型为ktbe t Le y --=，这两个模型中L 的经济意义都是销售量的上限。
表中给出的是某地区高压锅的销售量（单位：万台）。
要求：（1）运用适当的方法，建立高压锅的销售量模型，并作出模型的分析与检验。
（2）Logistic 增长曲线模型是一个可线性化模型吗？如果是可线性化模型，取L =3000，建立Logistic 的线性回归模型。
利用线性回归模型所得到的a 和k 的估计值和L =3000作为Logistic 模型的拟合初值，对Logistic 模型做非线性回归。
（3）拟合Gompertz 模型。
（4）将几个模型作出比较与分析。
九、轿车更新问题某人打算购买一辆新轿车，轿车的售价是12万元人民币。
轿车购买后，每年的各种保险费、养护费等费用如表1所示。
如果在5年之内将轿车售出，并再购买新车，5年之内的二手车销售价由表2所示。
请设计一种购买轿车的方案，使5年内用车的总费用最少。
表1 轿车的维护费车龄/年 0 1 2 3 4费用/万元 2 4 5 9 12表2 二手车的售价车龄/年 1 2 3 4 5费用/万元7 6 2 1 0 【注】此问题的求解利用最短路方法或动态规划方法。
十、航空机票超订票问题某航空公司执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效载客量为150人。
按民用航空管理有关规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空公司为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机载客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的20%作为补偿。