第一章集合与简易逻辑§1.1集合的概念及其基本运算空基础自测1. (2008 •山东理，1)满足M •二a i,a 2,a 3,a^f ,且M 1曰,日2,日 3J =诅，a ?"啲集合M 的个数是()A.1B2 C3 D.4答案 B2. ( 2009 •成都市第一次诊断性检测 )设集合A= * I _1 ：：：x 乞2, x .二N 二集合B=也3，则A B 等于()A. {,2,4B.乜1,2,3} C 电} D {」0,1,2,3}答案 B3. 设全集 U= 1,3,5,7 二集合 1,|a _5|：,M 二U,UM= §7 [，则 a 的值为( )A.2 或-8B.-8 或-2C-2 或 8D.2 或 8答案 D4. (2008 •四川理，1)设集合 U= 1,2,3,4,5；^12,3}^4,3,4；则 U (A B )等于 ()A. ©,3?B. 1,4,5?C. £5?D. 1,5/答案 B5. 设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B,则下列集合为空集的是 ()A A ?|B B. A =〔U B )C. B H ([U A )D. ([ U A ) Cl ([ U B )答案 B----- 典例剖析 一 ----------------例1若a, b 匕R 集合1,a 加,a}=«0,b ,b ,求b- a 的值. \ a .fr解 由£a+b,a}=j0,P,b ，可知a 工0，则只能a+b=0，则有以下对应关系:I a .a — 1由①得 尸―t 符合题意；②无解.所以b-a=2.b 勻例2已知集合A= >| 0 ::: ax -1 _5 二集合 B= x| -* ：：:x _2 . (1) 若A 二B,求实数a 的取值范围； (2) 若B_A ，求实数a 的取值范围；(3) A 、B 能否相等？若能，求出 a 的值；若不能，试说明理由 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ① 若a=0,则A=R;主学习一*a b =0b=a ①或b b b =0=a=1a② 若a < 0，则A=《X |纟兰x £_1 >j a _ aJ③ 若 a >0，则 A = <x | —1 <x 兰4 ,\ a a:⑴当a=0时，若A 二B,此种情况不存在.当a < 0时，若A 二B,如图,a <-81 - - a < -8.a 兰二,_ 2⑵ 当a=0时，显然B 二A ;当a < 0时，若B 二A ,如图,[-U-1 ”则彳a 2, •••」一2 ••• 0< a < 2.综上知，当B 匚A 时，-丄^<2.《些 乍兰2 _ 2_(3)当且仅当A 、B 两个集合互相包含时， A=B.由(1)、(2)知，a=2.例 3 (12 分)设集合 A= 'x|x 2 _3x 2 =0；B ='x|x 2 2(a 1)x (a 2 -5) =o[ (1) 若A B -；2,求实数a 的值； (2) 若A B=A ,求实数a 的取值范围； (3) 若U=R, A ( U B ) =A.求实数a 的取值范围. 解 由 x 2-3x+2=0得 x=1 或 x=2,故集合 A=(,2) (1 )v A B =2｝「. 2 B,代入B 中的方程， 得 a +4a+3=0, • • a=-1 或 a=-3; 当a=-1时，B=[|x 2 —4满足条件；当a=-3时，B=[|x 2 -4x 4 =0】区 满足条件； 综上，a 的值为-1或-3. 3(2)对于集合B ,.'■■：=4 (a+1) 2-4( a 2-5)=8( a+3). •/ A B=A , • B ^A① 当厶< 0,即a < -3时，B=._，满足条件； ② 当.\=0, 即 a=-3时，B=9 满足条件；③ 当厶>0，即a >-3时，B=A=1,2/■才能满足条件， 则由根与系数的关系得当a > 0时，若A B,如图,UX -1U 4 -<2 a』-2. /• a > 2.综上知，此时a >2a 的取值范围是a v -8或a >2.a 21 2aa_』| 1 a21< a < 0;当 a >0，若 B ^A ，如图， 2-6-rIT土 -4 则戶2, 1 —<2 af 51 42 =/(a 41)前 a =_— 乂壬 < / 丿即』 2,矛盾; 1x2=a -5 丰2 “L a =7A. 27B.26C.9D.8答案 A1. 设含有三个实数的集合可表示为 W,a 亠d,a 亠2d /也可表示为S,aq,aq 2 ”,其中a, d, q ：=R,求常数q.解依元素的互异性可知， a 工0, d 工0, q 工0, q 工二1 .厂f2由两集合相等，有(1)丿七=aq, 2或( 2)卢*d =aq' a +2d =aq a +2^ =aq.由(1)得 a+2a ( q-1 ) =aq 2, •/ a ^ 0, /• q 2-2q+仁0,「.q=1(舍去). 2 21 由(2 )得 a+2a( q -1)= aq, - a 工 0, •• 2q - q-仁0, - - q=1 或 q=-2T q 工 1, •• q=- 1 ,综上所述,q=- 1.2 22. (1)若集合P=l |x 2+x -6=0, S ={x|ax 41=0}且S ^P ,求a 的可取值组成的集合；(2) 若集合A= X | 2 _x _5 j B =敢|m “1 _x _2m -1 ■且B ，—A ，求由m 的可取值组成的集合. 解(1) P=*〉,2：.当 a=0 时，S=._，满足 S P ;当a 工0时，方程ax+1=0的解为x=--,a为满足S P,可使一1 -二或一1 =2,即a= 1或a=- 1.故所求集合为a a 3 2(2)当n+1> 2m1，即m< 2时，B=r 1,满足B ^A ;若B^，且满足B ^A ，如图所示，ff.m +1 W2m -1, m 兰2 则彳m +1 Z-2 ,即」m 启-3, • 2< m < 3.2m -1 _5m _3综上所述，m 的取值范围为 m< 2或2< me 3,即所求集合为 竹口_3；3. 已知集合A=(x|x 2 (2 a)x J =0,x ・ R ：B-2 R|x .0?,试问是否存在实数 a ,使得A B W. ? 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.综上，a 的取值范围是a e -3.7(3)T A ( U B ) =A 「. A.二［U B,「. A B= _;8①若 B=；:. 1 ,^U <0= a ：：： ~3适合；②若B Z ,_则a=-3时，B=@?, A BjR ，不合题意；a > -3，此时需1老B 且2童B.将2代入B 的方程得a=-1或a=-3 (舍去)；将1代入B 的方程得a 2+2a-2=0 = a - _1 _ . 3.--a 工-1 ^且 a 工-3 ^且 a 工-1 -丄 3. 11综上，a 的取值范围是 a < -3或-3 < a <-1- . 3或-1- .. 3 < a < -1 或-1 < a < -1+ -j 3 或 a > -1+宀;3分12 分(A, A 2)与(A 2,()知能迁移例4若集合A 、A 满足A i A 2=A 则称(A , A )为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A=A 时,AJ 为集合A 的同一种分拆，则集合 A= 1,2,3 ［的不同分拆种数是-2 Jfl+1 2rtt-l 5解方法一假设存在实数a满足条件A B=_,则有(1) 当A工.一时，由A B =_,B=-X wR|x .0?，知集合A中的元素为非正数, 设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x“X2,则由根与系数的关系，得A=(2 4a)2 _4王0+x2 =-(2 +a) <；0, 解得a 启0;牡=1 .0(2) 当A=._ 时，则有.\=(2+a)2-4 V 0,解得-4 < a < 0.综上(1)、(2)，知存在满足条件A G B=0的实数a,其取值范围是(-4，心).方法二假设存在实数a满足条件A B工“，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x’，X2至少有一个为正, 因为x i • X2=1>0，所以两根x i,X2均为正数.则由根与系数的关系，得J* =(2 +a)2 —4 -0 ,解得?-0或日兰」即a~.X i +X2 =_(2 £)>0 a £-2又•••集合aia^/:啲补集为©|a 存在满足条件 A B= 的实数a,其取值范围是(-4，+®)3,则满4. 设集合S='A,A A,人餐，在S上定义运算二为：A ：F』A=A,其中k为i+j被4除的余数，i , j =0，1，2,足关系式(x ：打x) 7；I A2=A0的x(x三S)的个数为()A.1B.2 C3 D.4答案B----- 活页作业-------------------一、选择题1. (2008 •江西理，2)定义集合运算：A*B={z|z =xy,x 壬A,y E B}设A={,2, ^0,2}则集合A*B的所有元素之和为A.0B.2 C3 D.6答案D2. (2009 •武汉武昌区调研测试)设集合M =fx||x _1|：：：1[N =fx|x(x _3) ：：：0]则(A. M N =MB. M N =NC M 乐曲D M U N =M答案A3. 设全集U=R,集合M={x| x< 1或x>3},集合P= k ::: x ::: k T“R}，且工0，则实数k的取值范围是A k< 0 或k > 3 B.1 < k< 2 C.0 < k < 3 D.-1 < k < 3答案C4. (2008 •安徽理，2)集合A='y WR|y =1gx,x .1，1,1,2?则下列结论中正确的是(A. A B=12」？B.( - R A) B = ( - g ,0 )C A U B=(0,+ ^)D ([R A) B — {—2 _ 1}答案D5. 已知集合P={ (x,y)|| x|+| y|=1} ,Q={(x,y) | x2+y2< 1}，则(A.P QB. P=QC. P QD. P H Q=Q答案A6. (2008 •长沙模拟)已知集合A={x|y=.、1 _x2 ,x € Z} , B={ y|y=x2+1,x 匕 A},则A H B 为B. [ 0,C.{1}D.{ (0, 1) }A. •一答案C二、填空题7.集合 A={x|| x-3|< a, a>0}, B={x| x 1 2-3 x+2<0}，且 B.二A ,则实数 a 的取值范围是 .答案［2, + co ; 8.(2008 •福建理，16)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b € P,都有a+b 、a-b 、ab 、旦€ P (除b数b 工0),则称P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域；数集F={a+b 、2 | a, b € Q 也是数域.有下列命题： ① 整数集是数域；② 若有理数集QqM 则数集M 必为数域； ③ 数域必为无限集； ④ 存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上)答案显: 三、解答题9. 已知集合 A={x| mX-2x+3=0，R}. (1 )若A 是空集，求mn ，(2) 若A 中只有一个元素，求 mj 勺侑；(3) 若A 中至多只有一个元素，求 m 的取值范围. 解 集合A 是方程mf-2x+3=0在实数范围内的解集.⑴T A 是空集，二方程 mx-2x+3=0无解.1=4-12 n<0,即 —.3 (2)T A 屮三专一几元孟… 方程mx"-2x+3=0只有一个解. 若mF0,方程为-2x+3=0，只有一解x = 3;2 1若 m ^ 0,则4 =0，即 4-12n=0, 0=-.3f1a =_4即为所求.L 1 b =—21/• 0=0 或 mF —.3(3) A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义，根据(1)、(2)的结果, 1得 mF0 或 m^ -. 310. (1)已知 A={ a+2，(a+1) 2，a 2+3a+3}且 1 € A ，求实数 a 的值；(2)已知 M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且 M=N,求 a ，b 的值. 解(1)由题意知：a+2=1 或(a+1)2=1 或 a 2+3a+3=1,a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1 , -2,/• a=0即为所求.(2)由题意知，<■二 2a=b 22a =b二 1 a =0 __p. 或＜■ a =°或b=0 1 a =— 4Q -2根据元素的互异性得=0或 =111. 已知集合 A=旳旦 Z 1,x €R 兴B={x|x 2 /X5 £0} j X+1 J(1) 当 m=3 时，求 A ( R B );(2) 若 A B-*| _1 ：：：x ：：：4?,求实数 m 的值. 解 由旦 1,得 V ・：：0. /• -1 <x < 5,A= ]x| _1 ：“x 乞5；.X 出— x 卡1 — - (1)当 m=3 时，B=软|」：：：X ：：：3j ,则 R B= %|x 或x _3”>,•-A ( R B ) = :x | 3 _x _5； (2) v A= ^| J <5jA B =&| _1 ：：：x ：：：4, .•.有 42-2 X4- m=0,解得 m=8.此时B= <x|:::x：：：4 ;,符合题意，故实数 m 的值为8.12.设集合 A={ (x, y ) | y=2x-1, x € N}, B={( x, y)| y=ax 2- ax+a, x € N}，问是否存在非零整数a,使 A n B 乞严？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由 解假设A n B 工.一：町^壬出由0，有（a+2） 2-4 a （a+1） > 0,解得-—3—3 .因 a 为非零整数，a=± 1! 3 _ _ 3当a=-1时，代入（八、、 弄#-x=0或x=-1, 而x € N *.故a 工-1.当a=1时，代入（*）, 解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A n B 工.一, 此时 A n B={ （1，1 ），（ 2，3） }.§ 1.2 简易逻辑— 自 主学习 一场基础自测1.下列语句中是命题的是（）A.| x+a|B. M C NC.元素与集合D.真子集答案 B2. （2008 •湖北理，2）若非空集合 A B 、C 满足A U B=C ,且B 不是A 的子集，则 （）A. “x € C'是“ x € A ”的充分条件但不是必要条件B. “ x € C'是“ x € A ”的必要条件但不是充分条件 C “x € C ”是“ x € A ”的充要条件D “x € C ”既不是“ x € A ”的充分条件也不是“ x € A ”的必要条件 答案 B3. 若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s,则s 是p 的逆命题t 的 （）A.逆否命题B.逆命题 C .否命题 D 原命题答案 C4. 已知命题p:3 > 3;q:3>4,则下列选项正确的是 （）答案 Dy ■:y =2x -1 =ax -ax - a有正整数解，消去 y,得 ax 2-( a+2)x+a+1=0.A.p q 为假，p q 为假，—p 为真B. p q 为真，p q 为假，—p 为真C. p q 为假，p q 为假，—p 为假D. p q 为真，p q 为假，—p 为假5. (2008 •广东理，6)已知命题p:所有有理数都是实数；命题q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A. ( —p ) qB. p qC. (一p ) ( 一q)D.(一p) (一q) 答案D----- —-典例剖析-----------------例1把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并写岀它们的逆命题、否命题、逆否命题(1)正三角形的三内角相等；(2)全等三角形的面积相等；(3)已知a, b, c, d 是实数，若a=b, c=d,则a+c=b+d.解(1)原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形(或写成：三个内角相等的三角形是正三角形) .否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形(或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形).(2)原命题：若两个三角形全等，则它们的面积相等.逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等(或写成：面积相等的三角形全等)否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等(或写成：不全等的三角形面积不相等)逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等(3)原命题：已知a, b, c, d是实数，若a=b, c=d，贝U a+c=b+d.逆命题：已知a, b, c, d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a, b, c, d是实数，若a与b, c与d不都相等，则a+c工b+d.逆否命题：已知a, b, c, d是实数，若a+c工b+d,则a与b, c与d不都相等.例2指岀下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选岀一种作答) .(1)在厶ABC中，p：Z A=Z B，q：sin A=sin B；(2)对于实数x、y，p：x+y工8, q: x工2或y工6;(3)非空集合A、B 中，p : x€ A U B，q : x€ B：(4)已知x、y€ R，p： (x-1 ) 2+ (y-2 ) 2=0，q： (x-1 ) (y-2 ) =0.解 (1)在厶ABC中，/ A=Z B : sin A=sin B,反之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180° ),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2) 易知：一p:x +y=8, — q:x=2且y=6,显然一q=. p.但一p • — q,即一q是一p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件.(3) 显然x€ A U B不一定有x € B,但x€ B 一定有x€ A U B所以p是q的必要不充分条件.(4) 条件p: x=1 且y=2,条件q: x=1 或y=2,所以p= q但q』・p,故p是q的充分不必要条件.例3 已知ab工0!求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab- a2- b2=0.证明霸;贩隹丿-a +b=1 ,• • a+b-仁0 ,二a3+b3+ab- a2- b2= (a+b) (a2- ab+b2) - (a2- ab+b2)=(a+b-1 ) (a2- ab+b2) =0.3 3 2 2 2 2■/ a +b +ab-a - b =0,即(a+b-1 ) (a - ab+b ) =0,又ab 工0,a 工0 且b工0,a2- ab+b2= (a- b)2 2 b2>0,2 4/• a+b-1=0,即a+b=1, 综上可知，当ab工0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab- a2- b2=0.例4 (12分)已知两个命题r(x):sin x+cosx>rm s(x): x2+mx+1>0.如果对\/x€R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.解■/ sin x+cosx= V2 sin( x+卫)x_T2, .•.当r(x)是真命题时，m<-72 , 2 分4又丁对—x・R, s(x)为真命题，即x2+mx+1>0恒成立，有. ■：=ni-4<0, . -2<m<2, 4 分.当r(x)为真，s(x)为假时，n x - ,2 ,同时m^ -2或n> 2，即me -2 ; 6 分当r(x)为假，s(x)为真时，- . 2 且-2< m<2,即-..2 e m<2. 8 分综上，实数m的取值范围是m e -2或-._2 e m<2. 12分---- 知能迁移—*** --------------1. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)相似三角形一定是全等三角形.解(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等” 原命题为真命题，否命题也为真命题.(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题(3) 否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形” 原命题是假命题，否命题是真命题2. (2008 •湖南理，2) “X-1|<2 成立”是“ x(x-3)<0 成立”的 ()A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B3. 证明一元二次方程 ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明 充分性：若ac<0,则b ^-4ac>0,且-<0,a方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根必要性：若一兀二次方程 ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则 /■ =b 2-4ac>0, x i x 2=— <0,二ac <0.a 综上所述，一兀二次方程 ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.4. 已知a>0,设命题p:函数y=a x 在R 上单调递减，q :不等式x+|x-2a|>1的解集为R 若p 和q 中有且只有一个命题为真命题， 求a 的取值范围.解 由函数y=a x 在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 则y= ^2x ^a(x^a),不等式x+|x-2a|>1的解集为R ,只要y mm >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1， 2a(x <2a).即a>!.即q 真:二a>丄.若p 真q 假，则0<a w 丄；若p 假q 真，则a > 1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时 a 的取2 2 2 1值范围是0<a <丄或a > 1.2活页作业一、选择题“若a>b,则a+c>b+c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等” 中 假 命A0 B.1C.2D.3答案2. (2008 •重庆理，A 充分而不必要条件 2)设m n 是整数，则“ m n 均为偶数”是“ n+n 是偶数”的B.必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A3.“x>1” 是“x 2>x ” 的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A4.若命题p:x ：二A \ B,贝U -p 是A. x 三A 且x -'BC. x E A 且x EBB. x^A 或 x^BD . X A B答案 B5.若p 、q 是两个简单命题，且“ p q ”的否定是真命题，则必有1.下列命题：①5>4 命或4>5 :②9> 3;③命题题9. 求关于x 的方程x 2- mx+3m2=0的两根均大于1的充要条件 X 1、X 2，则原方程有两个大于 1的根的充要条件是广2A=m _12口48兰0, 鴻」(石 +x 2) —2 A0,X 1X 2 -(X 1 _X 2)• 1 >0.Lm 亠6 2、7或m ^6—2.、7, m 2,1m7故所求的充要条件为 m> 6+2 .. 7 . 10. 已知 x,y € R求证：| x+y|=| x|+| y|成立的充要条件是 xy > 0. 证明(充分性)若xy >0,则x, y 至少有一个为 0或同号./• | x+y|=| x|+| y| 一定成立.(必要性) 若 |x+y|=| x|+| y|,则(x+y)2=(| x|+| y|) 2, x 2+2xy+y 2=x 2+2| xy|+ y 2, 二xy=|xy |, /• xy > 0. 综上，命题得证.11. 已知命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题 q:方程4x 2+4 ( m2 ) x+1=0无实数根.题，“ p 且q ”为假命题，求 m 的取值范围. 解由p 得：严一m 7 则m>2.m >0由 q 知:. '■■： =16 ( m-2) 2-16=16( m i -4 m+3)<0,则 1<m<3.p 或q ”为真，“ p 且q ”为假，p 为真，q 为假，或p 为假,q 为真.广f则F H •或八兰2,解得3或1<m < 2. m 自或 m % 1 <m <312. (1)是否存在实数p,使“ 4x+p<0”是“ x 2- x-2>0 ”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；(2)是否存在实数p ,使“ 4x+p<0”是“ x 2-x-2>0 ”的必要条件？如果存在，求出 p 的取值范围A.p 真q 真 答案 B6. (2008 •安徽理，7“a<0”是“方程ax 2+2x+1=0至少有一个负数根”的 A 必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B 二、 填空题7. 设集合 A= {|%|<;4}8 =£| x 2 _4x 43>0}则集合{x|x €A 且x 善 A P1B }= 答案 <x|^:x <3/8. (2008 •全国H 理，16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行 间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件① ___________________________________ ; 充要条件② _________________ . ________________ (写出你认为正确的两个充要条件)答案 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等 三、 解答题B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真.类似地，写岀空.(答案不唯一)解设方程的两根分别为=m 2 -4(3^ -2) _0, (人-1) (X 2 -1) 0 (X 1 4)(X 2 -1)0,又 T X 1+X 2=mx 1X 2=3m2,若“ p 或q ”为真命解 (1)当 x>2 或 x<-1 时，x 2- x-2>0,由 4x+p<0,得 x<- _E ,故-上 w -1 时,4 4xv- E ” = “x<-1 ”二.“ x 2-x-2>0 ” . /• p A 4 时，“ 4x+p<0” 是“ x 2-x-2>0 ” 的充分条件. 4 （2）不存在实数p 满足题设要求章末检测一每小题5分，共60分)U=R 集合 A={x|-2w x w 3},B={x|x<-1 或 x>4},那么集合 A Q ([ »B)等于B. :x | x < 3或x _ 4 J D.较|二空兰3}一、选择题（本大题共12小题, 1.(2008 •北京理,1)已知全集 A. (x | _^ <x :: 4 /C. *x I *x ：：：工 答案 D2.已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件，那么 p 是q 成立的A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 答案 AD.既不充分也不必要条件3. （2009 •合肥模拟）已知条件 范围是 p :( x+1) 2>4，条件 q: x>a,且一p 是-q 的充分而不必要条件，则a 的取值A a > 1 C. a A -3D a w -3答案 A4. “a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的A 充分而不必要条件 （）B 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C5.设集合 M={ x| x>2} , P={x|x<3},那么“ x € M 或 x € P ” 是“ x € MQ P ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是答案 B7.（2008 •浙江理,3）已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 D8.(2008 •天津理,6)设集合 S={x|| x-2|>3},T={ x| a<x<a+8}, S U T=R _则 a 的取值范围是A.-3< a<-1B.-3 w a w -1C. a w -3 或 a A -1答案 AD. a<-3 或 a>-19. （2008 •北京海淀模拟）若集合A={1 , m i }，集合B={2 , 4}，则“ m=2”是“ A n B={4} ”的A 充分不必要条件C 充分必要条件 答案 A210. 若数列{a n }满足已扌=卩(p 为正常数，n € N *),则称{ a n }为"等方比数列”. a n甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，_则( )A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B11. (2008 -浙江理，2)已知 U=R , A={x|x>0}, B={x|x < -1}，则(A H U B )U( BUA )等于( )A.”B.{x|x < 0}C.{ x| x>-1}D.{ x| x>0 或 x < -1}答案 D12. 命题p:若a 、b E R 贝U| a|+| b|>1是| a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=x _1| /的定义域是 卜「：，一1 ’ 3, •:: ，_则()A. “ p 或q ”为假B. “ p 且q ”为真C. p 真q 假D. p 假q 真答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13. 设集合 A={5,log 2 (a+3) }，集合 B={a ，b}，若 A H B={2}，则 A U B= .答案{1，2，5}14. 已知条件p ： | x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 _________________ 条件.答案充分不必要15. 不等式|x|<a 的一个充分条件为 0<x<1,则a 的取值范围为答案 a > 116. 已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写岀一个逆否命题是真命题的复合命题 答案若①③则②(或若①②则④或若①③则④) 三、解答题(本大题共6小题，共74分)17. (12分)设命题p ： (4x-3 ) 2< 1;命题q:x 2-(2 a+1)x+a(a+1) < 0,若一p 是一q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.解 设 A={ x|(4 x-3) 2< 1}, B={x| x 2-(2 a+1) x+a( a+1) < 0}, 易知 A={x| 1 < x < 1}, B={x| a < x < a+1}.2匚a<1由「p 是「q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即 岸B,「.」一 2 ，)a '1 _1故所求实数a 的取值范围是[0, 1 ].218. (12 分)已知集合 U=R, U A =L|X 2?，B={X |X 2+3 (a+1) x+a 2-仁0}，且 A U B=A ，求实数 a 的取值范围B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解•/ A={0 , -6} , A U B=A,「. B.二A(1) 当 B=A 时，由 d°+(Q=」D,得 a=1,0 _1 (2) 当 BA 时，① 若B=.，则方程x 2+3(a+1)x+a 2-1=0无实根.13即厶 <0,得 9( a+1)2-4( a 2-1)<0,解得- <a<-1.5② 若B z，则方程x 2+3( a+1)x+a 2-1=0有相等的实根,即厶=0,即 a=-1 或 a=- I 3 .5由 a=-1 得 B={0},有 B A由a=-!2 ,得B={ * }不满足B A ，舍去，5 519. (12分)已知p ： |1- x °| < 2，q ： x 2-2x+1-m < 0 (m>0)，且一1 p 是一1 q 的必要而不充分条件，求实数 3值范围.解 方法一 由 x 2-2x+1-n^< 0,得 1-mc x < 1+m x _1「• —q : A={x| x>1+ m 或 x<1-mn>0},由 |1-| < 2，得-2 <x < 10，3一p : B =牧|x 10或x ：：： _2 /，v -p 是一q 的必要而不充分条件， m 0A B= 1「m 玄-2,解得 m> 9.|1 m _10方法二："-p 是一q 的必要而不充分条件，/• q 是p 的必要而不充分条件，二p 是q 的充分而不必要条件， 由 x 2-2 x+1- n i < 0.得 1-m K x < 1+m( m> 0)，二 q: B='x |1 _m 辽x 叩 mf . 又由 |1- 口 I <2，得-2 < x < 10，3p ：人=幻2)叩0〉又T p 是q 的充分而不必要条件. m _0B J A ：二 1 -m 一-2，解得 m >9.1 m _1020. (12分)求关于x 的方程ax 2-( a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.解 方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a 工0，则方程至少有一个正根等价于a=0<0 或 * a 2 *a 勺a或 >0a心=(a 2 +a +1)2 —4a(a +1)启0 综上：方程至少有一正根的充要条件是 a>-1.方法二若a=0,则方程即为-x+仁0,综上可知,-I 3<a < -1 或 a=1. m 的取=-1< a<0 或 a>0.二x=1满足条件；若a工0,VA =(a +a+1) -4a(a+1)=( a +a) +2(a +a)+1-4 a(a+1) =(a2+a)2-2a(a+1)+1=( a2+a-1) 2> 0,.••方程一定有两个实根.| ■ 2a+a+1兰0故而当方程没有正根时，应有a,解得a<-1,]a +1.a.•.至少有一正根时应满足a>-1且a工0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.21. (12分)记函数f(x)= j2—匸空的定义域为A, g(x)=lg fx _a _1)(2a _x) (|a扌)的定义域为BV x +1(1)求A；(2)若B •二A，求实数a的取值范围.解 (1 )由2-匚？0,得—0, . x v -1 或x> 1，即A= (- g,-1 ) [1,+ g).X +1 一X +1 一(2)由(x- a-1 ) (2a-x) >0,得(x- a-1)( x-2a)<0. •/ a<1, . a+1>2a, . B=(2a, a+1).又T B 二A . 2a> 1 或a+1< -1,即a> 1或a< -2. v a<1,.丄< a v 1 或a< -2,2 2故B g A时，a的取值范围是(—o_2U『，1(一222. (14 分)设p :实数x 满足x2-4 ax+3a2<0,其中a<0; q :实数x 满足x2-x-6 < 0,或x2+2x-8 >0，且一p是的必要不充分条件，求a的取值范围.解设A={x| p}={ x| x2-4ax+3a2<0, a<0}={ x|3 a<x<a, a<0},B={x| q}={ x|x2-x-6 < 0 或x2+2x-8>0}={ x| x2-x -6 < 0} U { x| x2+2x-8>0}={ x|-2 < x< 3} U { x| x<-4 或x>2}= 'x | x ：：：-4或x 丄2 ”.方法一v -p是~q的必要不充分条件，二-q—p,且T ~q .贝U 'x I F ；匸x I T ；而'x I ~q R B= 'x I / _X ：：：Z,:x | r ；= R A= 'x I x _3a或x _a,a ::: 0;.\x| / ：S x ：：：x |x 乞3a或x 亠a, a ::: 0;广则药2或a兰7综上可得-2兰a <0或a兰鼻a <0, a <0. 3方法二由一p是一q的必要不充分条件，.p是q的充分不必要条件，.A B, --a w -4 或3a A -2,又.a<0, - - a w -4 或-—w a<0.3。