1高中数学第一册（上）第一章集合与简易逻辑◇教材分析【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．◇学习指导【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；3．分类思想；4．数形结合思想．2【解题规律】1．如何解决与集合的运算有关的问题？1）对所给的集合进行尽可能的化简；2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．2．如何解决与简易逻辑有关的问题？1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．引言通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．§1.1集合〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．〖教学过程〗☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．1、集合的概念：在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度3洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

大西洋，印度洋，北冰洋)．为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合．例如，A＝｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．集合的元素常用小写的拉丁字母表示。

2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：集合中的元素必须是确定的。

这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。

例如，给出集合(地球上的四大洋)，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素．其他对象都不是它的元素．又如。

“我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。

集合中的元素是互异的。

这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素．集合中的元素是无序的。

这就是说，集合中的元素排列与顺序无关。

3、常用的数集及其记法：全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N *或N+；全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；全体实数的集合通常简称实数集，记作R．★（教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意以下两点：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0；(2)非负整数集内排除0的集，表示成N *或N+。

新的国家标准定义自然数集N含元素O．这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，以便与之早日相衔接；另一方面，o还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算a—a仍属于N，其中a∈N．）4、集合的表示方法，常用的有列举法和描述法：列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例如，由方程2x—1＝0的所有的解组成的集合，可以表示为｛-1，1｝；又如，由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合，可以表示为｛1，3，5，7，9｝。

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例如，不等式x-3＞2的解集可以表示为｛x ∈R｜x-3＞2｝;★（列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，4不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．）5、集合的分类：一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集．一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集．不含任何一个元素的集合叫做空集．记作φ。

6、素与集合之间的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作a∉A(或a∈A)．例如，设B＝｛1，2，3，4，5｝，那么5∈B，8∉B．7、练习：①P5与P6练习。

②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。

8、小结：（略）。

9、作业：①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。

②练习册：§1.1集合的内容。

§1．2子集、全集、补集〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)了解集合的包含、相等关系的意义；(2)理解子集、真子集的概念；(3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

〖教学过程〗☆本小节分为两部分：第一部分讲子集，第二部分讲全集与补集．第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出于集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质．第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念．1、子集的定义：先看集合与集合之间的“包含”关系设A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A。

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B(或B⊇A)．这时我们也说集合A是集合B的子集．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A⊆B(或B⊇A)．规定：空集是任何集台的子集。

也就是说，对于任何一个集合A，有φ⊆A。

2、集合与集合的相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B。

记作A＝B。

3、真子集的定义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，5记作A ⊆B(或B ⊇A)。

★（关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意；在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错．）4、性质：①A ⊆A （任何一个集台是它本身的子集）；②空集是任何非空集合的真子集；③对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ．同样可知，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ．④对于集合A ，B ，如果A ⊆B ，同时B ⊇A ，那么A ＝B ．5、一些容易混淆的符号的区分：① ∈与⊆的区别：∈是表示元素与集合之间关系的，因此，有1∈N ， —1∈N 等；⊆是表示集合与集合之间关系的，因此，有N ⊆R ，φ⊆R 等．②a 与｛a ｝的区别：一般地，a 表示一个元素，而｛a ｝表示只有一个元素的一个集合．因此，有1∈｛1,2,3｝,0∈｛0｝,｛1｝⊆｛1,2,3｝等，不能写成0=｛0｝,｛1｝∈｛1,2,3｝．③｛0｝与φ的区别：｛0｝是含有一个元素的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ⊆｛0｝，不能写成φ＝｛0｝、φ∈｛0｝．④｛φ｝与φ的区别：｛φ｝是含有一个元素φ的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ⊆｛φ｝、φ⊆｛φ｝、φ∈｛φ｝，不能写成φ＝｛φ｝．6、补集和全集的定义：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集(即A ⊆S )，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集(或余集)。

记作A C S ，即A C S ＝{x ｜x ∈S ，且x ∉A}．如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．例如．在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R 看作全集。

有理数集Q 的补集U C Q 是全体无理数的集合。

★ （关于补集，新的国家标准规定。

与补集相关的概念是集合的差，教科书中没有这个概念．集合A 与集合B 之差或集合A 减集合B 记作A ＼B ，即A ＼B ＝{x ｜x ∈A ，且x ∉A}． 要注意，上式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同．在B C A 中，要求B 是A 的子集； A ＼B 中，B 可以不是A 的子集．当B 是A 的子集的时候，也可以写成B C A ＝A ＼B ．）7、 补集性质：6C U U=φ，C Uφ=U，C U（C U A）=A。

8、例题：例⑴写出集合｛a、b｝、｛a、b、c｝的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。

解：（略）。

例⑵解不等式x-3＞2，并把结果用集合表示．解：x＞5，原不等式的解集是｛x｜x＞5｝．9、练习：①P9与P10练习。

②P10习题1.2第1题、第2题。

10、小结：（略）。

11、作业：①P10习题1.2第3题、第4题、第5题。

②练习册：§1.2集合的内容。

§1．3 交集、并集〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：(1)理解交集与并集的概念；(2)掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．习本小节，关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标．〖教学过程〗★本小节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．1、交集、并集的概念：一般地，由所有属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{xx∈|}B∈．由所有属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{xx∈|}Bx∈．“x∈∈B”—→⎪⎩⎪⎨⎧∈∈∉∈∉∈BxAxAxBxBxAx,,,2、交集、并集的性质：①A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A；7③ A ∩B ⊆A ⊆A ∪B 、A ∩B ⊆A ⊆A ∪B ；④ A ⊆ B ⇔ A ∩B =A ⇔A ∪B=B ；⑤ C U A ∩A=φ，C U A ∪A=U ；⑥ C U （A ∩B ）=（ C U A ）∪（ C U B ），C U （A ∪B ）=（ C U A ）∩（ C U B ）；⑦ A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ）；A ∪（B ∩C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ）；3、 例题：例1、设A ＝｛x | x > -2｝，B ＝｛x | x < 3｝，求A ∩B ．解：A ∩B ＝｛x | x > -2｝ ∩｛x | x < 3｝ ＝｛x | -2 < x < 3｝．★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。