第五节 数系的扩充、复数的概念与四则运算
1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识梳理 一、复数的有关概念 1．复数的概念．
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若________，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若________，则a ＋b i 为纯虚数．
2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________(a ，b ，c ，d ∈R ). 3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________(a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复平面．
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________．
5．复数的模．
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作________或________，即|z |＝|a ＋b i|＝________.
6．复数的几何意义．
(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一对应平面向量OZ →. 二、复数代数形式的运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
1．z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； 2．z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 3.z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 三、常见运算规律
1．i 的幂运算：i4n ＝1；i4n ＋1＝i ；i4n ＋2＝－1；i4n ＋3＝－i(其中n ∈N )． 2．(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 3．(1±i)2＝±2i. 4.
1＋i 1－i ＝i ，1－i
1＋i
＝－i. 5．1的立方根是1；－12＋32i ，－12－32i ，－1的立方根是－1，12＋32i ，12－32i.
6．设ω＝－12＋3
2i ，则ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0.
四、复数运算所满足的运算律 1．加法交换律： z 1＋z 2＝z 2＋z 1.
2．加法结合律： (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
3．乘法运算律：(1)z 1(z 2z 3)＝(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3；(3)(z 1＋z 2)z 3＝z 1z 3＋z 2z 3. 五、复数的几何意义
1．复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量OP 1→，OP 2→
，那么，以OP 1，
OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS →
就是z 1＋z 2的和所对应的向量． 2．复数减法的几何意义：两个复数的差z 1－z 2与连接向量Oz 1→，Oz 2→
的终点，并指向被
减数的向量z 2z 1→
对应．
六、几个重要的结论
1．|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)． 2．z ·z ＝|z |2＝|z |2. 3．若z 为虚数，则|z |2≠z 2.
一、1.实部 虚部 b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0 2.a ＝c 且b ＝d 3.a ＝c ，b ＝－d 4.x 轴 y 轴 实数 纯虚数 非纯虚数 5.|z | |a ＋b i|
基础自测
1．(2013·汕头二模)已知i 为虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( ) A ．2 B.12
C ．－12
D ．－2
解析：因为复数(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－a ＝0，
1＋2a ≠0，
解得a ＝
2.故选A.
答案：A
2．(2013·广州一模)已知a
1－i
＝1＋b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则a ＋b i ＝( ) A ．1＋2i B ．2＋i C ．2－i
D ．1－2i
解析：由a 1－i ＝1＋b i ，即a 2＋a
2i ＝1＋b i ，得a ＝2，b ＝1.故选B.
答案：B
3．(2012·荆州质检)设i 为虚数单位，则1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝________.
解析：根据i n (n ∈N *)的周期性知，－i ＋i 2－i 3＋i 4＝－i 5＋i 6－i 7＋i 8＝…＝0， ∴1－i ＋i 2－i 3＋i 4－…＋i 20＝1. 答案：1
4．(2013·湖北卷)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1
＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：依题意z 1＋z 2＝0，所以z 2＝－z 1＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
1．(2013·广东卷)若i(x ＋y i)＝3＋4i ， x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：根据复数相等的充要条件可得x ＝4，y ＝－3，易得x ＋y i 的模为5，故选D. 答案：D
2．(2013·安徽卷)设i 是虚数单位．若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：a －10
3－i ＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －10
3－i
为纯虚数知a ＝3.故选D. 答案：D
1．(2013·梅州二模)复数z ＝11－i (i 为虚数单位)的共轭复数z －
是( )
A ．1－i
B ．1＋i
C.12＋1
2
i
D.12－12
i
解析：因为复数z ＝1
1－i ＝1＋i
(1－i )(1＋i )＝12＋1
2i.
所以z －＝12－1
2i.故选D.
答案：D
2．(2013·江门一模)在复平面内，O 是原点，向量OA →
对应的复数是2－i(其中，i 是虚数
单位)，如果点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →
对应的复数是( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．2＋i
D ．1－2i
解析：由题意可得点A 的坐标为(2，－1)，点A 关于实轴的对称点为点B (2,1)，则向量OB →
对应的复数是2＋i ，故选C.
答案：C。