第一章 质点运动学1-1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j i r 22bt at += （其中b a ,为常量） 则该质点作（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动（C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动 [B]解：由j i rv bt at t 22d d +==知 v 随t 变化，质点作变速运动。

又由x aby bt y at x =⎪⎭⎪⎬⎫==22 知质点轨迹为一直线。

故该质点作变速直线运动。

1-2 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，① a t v =d ② v t r =d ③ v t s =d d ④ t a t =d d v （A ）只有（1）、（4）是对的。

（B ）只有（2）、（4）是对的。

（C ）只有（2）是对的。

（D ）只有（3）是对的。

[D]解：由定义：t vt a d d d d ≠=v ； t r t s t v d d d d d d ≠==r ； t t v a d d d d v ≠=τ只有③正确。

1-3 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以21s m -⋅的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。

今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x ，y 方向单位矢用j i ,表示），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（A ）j i 22+ （B ）j i 22+-（C ）j i 22-- （D ）j i 22- [B]解：由i v 2=对地A ，j v 2=对地B 可得 A B A B 地对对地对v v v +=⎰对地对地A B v v -=i j 22-=j i 22+-= （1s m -⋅）1-4 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为)SI (23t a +=如果初始时质点的速度0v 为51s m -⋅，则当t 为3s 时，质点的速度1s m 23-⋅=v解：⎰+=tta v v 00d13s m 23d )23(5-⋅=++=⎰tt1-5 一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 8m ，在t 由0到4s 的时间间隔内质点走过的路程为 10m 。

解：质点0-4秒内位移的大小：m 80)446(204=--⨯=-=∆x x x 由⎪⎩⎪⎨⎧><==<>-==)3(0)3(0)3(026dtd t t t t xv知原点在t =3秒时刻反向运动，0-4秒内路程为：3403x x x x s -+-=)336()446(336222-⨯--⨯+-⨯=m 1019=+=1-6 在xy 平面内有一运动的质点，其运动方程为)SI (5sin 105cos 10j i r t t += 则t 时刻其速度1s m )5cos 5sin (50-⋅+-=j i v t t ;其切向加速度的大小=t a 0 ；该质点运动的轨迹是 圆 。

解：由 t y t x 5sin 10,5cos 10==得 =xv t t yv tt xy 5cos 50d d 5sin 50d d ==-=所以 1s m )5cos 5sin (50-⋅+-=j i v t t又：5022=+=y x v v v所以0d d ==t v a t轨迹方程：10022=+y x ，质点轨迹为圆。

1-7 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为SI)(25.432t t x -= 试求：（1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内的路程。

解：（1）第2秒内的平均速度为)s m (5.01)25.4()2225.4(121-3212⋅-=--⨯-⨯=--=x x v（2）由于269d /d t t t x v -==，所以第2秒末的速度为)s m (62629-122⋅-=⨯-⨯=v（3）由0692=-=t t v ，得s 5.1=t 时改变运动方向，所以第2秒内运动的路程为5.1215.1x x x x s -+-=()()25.45.125.15.432--⨯-⨯=)5.125.15.4()2225.4(3232⨯-⨯-⨯-⨯+()m 25.2=1-8 一电子在电场中运动，其运动方程为SI)(21922t y t x -== （1）计算并图示电子的运动轨迹； （2）求电子的速度和加速度；解：（1）由运动方程消去t ,得轨迹方程：2192x y -=轨迹曲线为抛物线，如图所示。

（2）用位矢表示运动方程：j i r )219(22t t -+= 根据定义，速度为)s m (42dt d 1-⋅-==j i rv t加速度为)(x m )(y m 2x 19y 2-=题 1-8 图)s m (4dt d 2-⋅-==j va1-9 路灯离地面高度为H ，一个身高为h 的人在灯下水平路面上以匀速0v 步行，如图（a ）所示。

求当人与灯水平距离为x 时，她的头顶在地面上的影子移动的速度。

解：建立如图（b ）坐标轴ox ，设影的坐标为x '。

由几何关系有 H h H x x -='h H Hx x -='得影子移动的速度为0dt d d d v h H Hx h H H t x v -=⋅-='=1-10 已知质点在铅直平面内运动，运动方程为SI),()515(52j i r t t t -+=求s 1=t 时的法向加速度、切向加速度及轨迹的曲率半径。

解：由运动方程得速度和速率分别为j i rv )1015(5d d t t -+==()222210155t v v v y x -+=+=加速度为j va 10dt d -==所以，切向加速度为10124)32(10dtd 2+--==t t t va t法向加速度22t n a a a -=题 1-9 图s 1=t 时：)s m (25-1⋅=v ，切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径分别为()()()()m 07.707.725s m 07.707.710s m 07.725222222===⋅=-=⋅-=-=-- n n t a v a a ρ1-11 一个半径为m 0.1=R 的圆盘，可以绕一水平轴自由转动。

一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体 A 在重力作用下，物体A 从静止开始匀加速地下降，在s 0.2=∆t 内下降的距离m 4.0=h 。

求物体开始下降后3秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。

解：设物体下降加速度为a ，由匀加速直线运动公式()2/2t a h ∆=得()()2-22s m 2.024.022⋅=⨯=∆=t ha盘边缘任一点的切向加速度大小为)s m (2.0-2⋅==a a t （与时间无关）s 3=t 时，盘边缘任一点的速度大小为)s m (6.032.0-1⋅=⨯==t a v t所以，法向加速度大小为()2-22s m 36.016.0⋅===R v a n1-12 某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动的运动方程为()SI 343++=t t θ。

（1）s 2=t 时，该点的角速度和角加速度各为多大？（2）若主轴直径cm 40=D ，求s 1=t 时该点的速度和加速度。

解：（1）由运动方程343++=t t θ，得边缘一点的角速度和角加速度分别为43dt d 2+==t θω tt 6d d ==ωβ当s 2=t 时：()()2--12s rad 1226s rad 16423⋅=⨯=⋅=+⨯=βω（2）由角量和线量的关系，边缘一点的速度、切向加速度和法向加速度的值分别为()2.0432.12.06)43(2.04.0)43(212122222⨯+===⨯==+=⨯+===t r a t t r a t t D r v n t ωβωωs 1=t 时：)s m (4.1)43(2.0-1⋅=+=v()()()2-2-2s m 8.92.043s m 2.1⋅=⨯+=⋅=n t a a此时总加速度的大小为()-22222s m 87.98.92.1⋅=+=+=n t a a aa 与v 的夹角0.832.18.9arctg arctg=⎪⎭⎫ ⎝⎛==t n a a θ1-13 一质点在水平面内作圆周运动，半径m 2=R ，角速度k kt(2=ω为常数）。

当0=t 时，4/πθ-=，第二秒末时质点的线速度大小为32-1s m ⋅。

试用角坐标表示质点的运动方程。

解：由角量和线量的关系，质点的速度为22kt R v ==ω已知s 2=t 时32=v ，即22232⨯=k得4=k ，角速度24t =ω。

又由t d /d θω=，分离变量积分：⎰⎰-=θπθ4/02d 4d t tt得到用角坐标表示的运动方程()SI 4343πθ-=t1-14 一艘艇正以-1s m 17⋅的速率向东行驶，有一架直升机准备降落在艇的甲板上，海上有-1s m 12⋅的北风吹着。

若艇上的海员看到直升机以5-1s m ⋅的速度垂直降下，试求直升机相对于海水和相对于空气的速度各如何？（以正南为x 正方向， 正东为y 正方向，竖直向上为z 正方向建立坐标系）解：相对于题中给出的坐标系，舰对水的速度为 j v 17=舰对水，空气对水的速度为i v 12=气对水，直升机对舰题1-14 图xyz上东南的速度为k v 5-=机对舰。

根据相对速度公式，直升机相对于海水和空气的速度分别为舰对水机对舰机对水v v v +=）s m (k 517175-1⋅-=+-=j j k水对气机对水机对气v v v +=气对水机对水v v -=)s m (5171212517-1⋅-+-=--=kj i i k j1-15 水自西向东流动，速率为-1h km 10⋅。

一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30，相对于河水的航速为-1h km 20⋅。

此时风向为正西，风速为 -1h km 10⋅。

试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）。

解：建立如图坐标系。

由题意知：)h km (101-⋅=i v 水对地)h km (30cos 2030sin 20-1⋅+-=ji v 船对水)h km (101-⋅-=iv 风对地根据相对速度公式，水对船地对水风对地风对船烟对船v v v v v ++==()水对地船对水风对地v v v +-=())h km (3.1710)30cos 20(1030sin 20101-⋅--=--+-=j i j i()()()122h km 203.1710-⋅=-+-=烟对船v即在船上观察，烟以20-1h km ⋅的速率向南偏西 30=θ飘去。