6（2）
7（1）
7（2）
8（1）
8（2） ，（ ）
9（1）
9（2）
10（1）
10（2）
11（1）
11（2）
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、计算 ，
【分析】因为：
所以：
【解答】
【不定积分的第二类换元法】
已知
求 【做变换，令 ，再求微分】
【求积分】
【变量还原， 】
【不定积分的第一类换元法】
已知
求 【凑微分】
【做变换，令 ，再积分】
【变量还原， 】
【求不定积分 的第一换元法的具体步骤如下：】
（1）变换被积函数的积分形式：
（2）凑微分：
（3）作变量代换 得：
（4）利用基本积分公式 求出原函数：
（5）将 代入上面的结果，回到原来的积分变量 得：
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量 ，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
求：（1）利润函数 ；
（2）利润最大时的产量；
（3）利润最大时的平均价格。
【解答】
（1）因为：
所以： ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 得： ， ，
又已知： ， ，
于是：
（2）令 得：
因为： ，所以当 时利润最大，
（3）利润最大时的平均价格为：
7（1）
7（2）
【注】被积函数中含有简单根式 或 时，可令这个简单根式为 ，即可消去根式。
8(1)
8（2）
【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。
9、
【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。
10（1）
10（2）
因为：
所以：
即：
10（3）
因为：
所以：
__________________________________________________________________________________________
【第一换元法例题】
1、
【注】
2、
【注】
3（1）
【注】
3（2）
【注】
4（1）
【注】
4（2）
【注】
4（3）
5（1）
5（2）
6（1）
__________________________________________________________________________________________
【第二换元法例题】
1、
2（1）
2（2）
3、
4、
5、
6、
【注】被积函数中出现了两个根式 时，可令 ，其中 为 的最小公倍数。
即：
【注】当被积函数中出现 因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。
_______________________________________________________________________________________________
【附加】【应用题】
已知生产 单位的某种产品，边际单位成本是 ，产量为1个单位时，成本为102，又知边际收益为 ，且 ，