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概率统计课后习题解答第2章

PX 0.1 2 x dx 0.25.
0 0.5
从而
PY 2 C3 (0.25) 2 (0.75)1 0.1406
2
19.设某汽车站每隔 20 分钟有一辆汽车通过,乘客在 20 分钟内任一时刻到 达汽车站是等可能的,求乘客候车时间不超过 15 分钟的概率. 解:由题意知,乘客到达汽车站的等待时间 X 服从[0,20]上的匀均分布, 故
p PX 200 0
3 只元件寿命均大于 200 小时的概率为
(1 p) (1 (1 e )) 3 e 1 .
故 3 只元件中至少有一只损坏的概率为
3

1 3
1 (1 P ) 3 1 e 1 .
22. 某厂生产的某种电子元件的寿命X (小时) 服从正态分布 N (1600, 2) , 如果要求元件的寿命在 1200 小时以上的概率不小于 0.96,试求常数 . 解:因 X~N (1600, 2 ) ,故 要 即要 X 1600 ~ N (0.1) .
1 已知 F (0) ,求常数 a, b. 8
解 由 F (0) f ( x)dx a f1 ( x)dx b f 2 ( x)dx 0.5a 0

0
0
0
1 8
得 a 1 / 4. (原书答案有误) 由 F () f ( x)dx a f1 ( x)dx b f 2 ( x)dx a b 1


f ( x)dx

a
2 2 2 dx arctan x | ( arctan a ). a 2 2 (1 x )
a=0.
b a
(2)由 Pa X b 得 arctan b
2 2 1 dx arctan b , 2 (1 x ) 2
1 88 0.310 1 8.8 0.39 , 3
10

k P( X 3) C10 0.7 k 0.310 k . k 3
又 np 10 0.7 7 ,
所以最有可能命中 7 炮.
7.从学校乘汽车到火车站的途中有 5 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红 灯的事件是相互独立的,并且概率都是 分布律. 解: X ~ B(5,0.4) 8.设离散型随机变量X.8413 1 0.6826 ,
即考生成绩在 60 分至 84 分之间的概率为 0.6826. 24. 设随机变量X~N( , 2 ) ,且方程 x 2 x X 0 有实根的概率为 0.5, 求未知参数 。 解 由 P ( 1 4 X 0) 0.5 ,得 P ( X 1 / 4) 0.5 ,由于 X 服从正态分布, 所以 1 / 4. 25. 设随机变量X的分布函数为 F(x) ,概率密度 f ( x) af1 ( x ) bf 2 ( x ) ,其 中 f1 ( x) 为标准正态分布的概率密度, f 2 ( x) 是参数为 的指数分布的概率密度,
故 X 的分布函数为
1 ex , F ( x) 2 1 1 ex , 2
18.设随机变量X的概率密度为
x 0, x 0.
2 x,0 x 1, f ( x) 0, 其他. 以 Y 表示对 X 的三次独立观察中事件 { X 0.5} 出现的次数,试求 P (Y 2) 。 解:每次观察的观察值不大于 0.5 的概率为
PX 15
15 0
1 3 dx 20 4
20.设随机变量X~U[1,6],求一元二次方程 t2+tX+1=0 有实根的概率. 解:设 P 表示方程有实根的概率,由△=X2-4≥0,得 X≥2 或 X≤-2,所以 6 1 4 P PX 2 PX 2 PX 2 2 dx =0.8 5 5 21.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都 服从同一指数分布,其分布密度
PX 2
8k 8 e 0.997 k 2 k!

方法 2:利用 excel 函数
PX 2 1 PX 1 1 BINOMDIST (1,400,0.01,1)
=1-0.002835 0.997 6.若每次射击中靶的概率为 0.7,求射击 10 炮,命中 3 炮的概率,至少中 3 炮的概率,最可能命中几炮. 解:设中靶次数为 X,n=10, p=0.7, X~B(10, 0.7)
, 从而 b=1. 4
1 | x | e , x , 2
17.已知随机变量X的概率密度
f ( x)
试求X的分布函数. 解:由于 F ( x )
F ( x)
x
x
f (t )dt , 因此当 x≤0 时,
x 1 1 t 1 e dt e t dt e x . 2 2 2 1 1 0 1 x 1 当 x>0 时, F ( x ) e t dt 0 e t dt (2 e x ) 1 e x . 2 2 2 2
2 .设X为途中遇到红灯的次数,求X的 5
P( X k )
讨论常数 C 与 应满足的条件
Ck e , k!
k 1,2,.
k Ck 解:因为 e Ce Ce (e 1) C (1 e ) , k 1 k! k 1 k!
1 由 C (1 e ) 1 解得 C= . 1-e
9.设X服从参数 的泊松分布,且 P(X=1)=P(X=2),求 P(X≥1)及 P(0<X2<3). 解: PX k
e k , k 0 ,1,2, , k!
由 PX 1 PX 2, 即有 因此
x 1 600 e , f ( x) 600 0,
x 0, x 0,
试求:在仪器使用的最初 200 小时内,至少有一只电子元件损坏的概率 . 解:设电子元件的寿命为 X, 一只电子元件寿命大于 200 小时的概率为
200 1 600 e dx 1 e 3 . 600 x 1
X 72 96 72 PX 96 P 0.023
得 (
24 ) 1 0.023 0.977. 24 查正态分布表得 2, 即 12 ,从而
60 72 X 72 84 72 P60 X 84 P
由 F ( x) 在 x e 的连续性可得 be ce d d , 即 b 1. 15.设连续型随机变量X的概率密度为
f ( x)
2 , a x , (1 x 2 )
(1)试确定常数 a; (2)若 P{a<X<b}=0.5,确定常数 b. 解: (1)由 1 得 arctan a=0,从而
11.进行某种试验,设每次试验成功的概率为
3 ,以X表示首次成功所需试 4
验的次数,试求出X取偶数的概率. (原书此处有误) 12. 盒内有 3 个黑球和 6 个白球, 从盒内随机地摸取一个球, 如果摸到黑球, 则不放回,第二次再从盒中摸取一个球,如此下去,直到取到白球为止,记X为 抽取次数,求X的分布律及分布函数. 解:抽取次数 X 的可能取值为 1,2,3,4,且 6 2 PX 1 , 9 3 3 6 1 PX 2 , 9 8 4 3 2 6 1 PX 3 , 9 8 7 14 3 2 1 6 1 PX 4 . 9 8 7 8 84 14. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
PX 1200 0.96.
P X 1600 1200 1600 0.96.
因此
400 0.96.
反查标准正态分布表,得
400 0.755 , 即 227.3
23.抽样调查结果表明,考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布, 平均成绩(即参数 的值)为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的 数学成绩在 60 分至 84 分之间的概率. 解:由题意知,学生成绩 X 近似服从正态分布,即 X ~ N ( 72 , 2 ). 由
k PX k C10 0.7 k 0.310 k , k 1, 2, , 10 3 PX 3 C10 0.7 3 0.37 ,
PX 3 1 PX 0 PX 1 PX 2
1 0.310 10 0.7 0.39 45 0.7 2 0.38
3.一颗骰子抛两次,以 X 表示两次中所得的最小点数,试求 X 的分布律。 解 X 可能取值为 1,2, ,6 ,用二维数组表示两次的点数,则两次中最小点 数为 1 可表示为: ( 1, 1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (3,1) , , (1,6), (6,1) , 于是 PX 1 11 / 36 ,同理可得其余。 4.甲、乙两棋手约定进行 10 局比赛,以赢的局数多者为胜。设在每局中甲 赢的概率为 0.6,乙赢的概率为 0.4。假设各局比赛是相互独立的。 (1)写出甲赢局数的分布律; (2)试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。 解 (1)设甲赢局数为 X,则 X ~ B(10,0.6) 。 (2)甲胜概率为 PX 6 1 PX 5 1 BINOMDIST (5,10,0.6,1) =0.6332 乙胜概率为 PX 4 BINOMDIST (4,10,0.6,1) =0.1662 不分胜负的概率 PX 5 BINOMDIST (5,10,0.6,0) =0.2007 5.某人独立地射击,设每次射击的命中率为 0.02,射击 400 次,求至少两次 击中目标的概率. 解:设击中目标次数为 X,则 X ~ B(400,0.02) 。 方法 1: np 400 0.02 8 ,利用泊松定理并查泊松分布表得
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