第二章 随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=以X 表示两个产品中的合格品数.(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；(2) 12(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？(1) 021()2021x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩； (2) 21()1F x x =+ ()x -∞<<+∞. 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为(1)0()00x A e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩求常数A 及(13)p X <≤？解：由()1F +∞=和lim (1)xx A e A -→+∞-=得1A =；(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.4、设随机变量X 的分布函数为200()0111x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩求常数A 及(0.50.8)p X <≤？解：由(10)(1)F F +=得1A =；(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.5、设随机变量X 的分布列为()ap X k N==(1,2,,)k N =L 求常数a ？解：由11ii p+∞==∑得11Nk aN ==∑ 1a ⇒=.6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、3210905100(3)C C p X C ==、4110905100(4)C C p X C ==、5010905100(5)C C p X C ==于是X 的分布列为510905100()k k C C p X k C -== (0,1,,5)k =L . 7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数？解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且84(1)105p X ===、288(2)10945p X ==⨯=、2181(3)109845p X ==⨯⨯=于是X(2) 由(1)可知的分布函数为014125()44234513x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.8、设随机变量X 的分布函数为010.211()0.3120.52313x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列？解：X 90.1，求在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；(2) 至少有3个设备被使用的概率为(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；(3) 至多有3个设备被使用的概率为(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为005211515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+0.0001279=.11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率20.30.3(2)0.03332!p X e -===；(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率00.30.3(1)1(0)10.2590!p X P X e -≥=-==-=.12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =？ 解：由(1)(2)p X p X ===得22ee λλλλ--=2λ⇒=422(4)0.09024!p X e -⇒===.13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作精确计算；(2) 用泊松分布作的似计算？解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=0040113940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=；(2) 由于400.020.8λ=⨯=，于是拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.14、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求X 的分布函数？解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当0x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当01x ≤≤时2200()()02|x xxF x f t dt dt tdt t x -∞-∞==+==⎰⎰⎰当1x >时0121001()()020|1x xF x f t dt dt tdt dt t -∞-∞==++==⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为200()0111x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩. 15、设随机变量X 的密度函数为212(1)12()0x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求X 的分布函数？解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当1x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当12x ≤≤时1121111()()02(1)2()|2(2)xxx F x f t dt dt dt t x t t x-∞-∞==+-=+=+-⎰⎰⎰ 当2x >时122121211()()02(1)02()|1xx F x f t dt dt dt dt t t t-∞-∞==+-+=+=⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为011()2(2)1212x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩. 16、设随机变量X 的密度函数为cos ()220A x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求(1) 常数A ；(2) X 的分布函数；(3) (0)4p X π<≤？解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得2222220cos 0sin |21dt A xdx dt A x A ππππππ-+∞--∞-++===⎰⎰⎰12A ⇒=； (2) 当2x π<-时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当22x ππ-≤≤时2221111()()0cos sin |sin 2222x xxF x f t dt dt tdt t x πππ---∞-∞-==+==+⎰⎰⎰当2x π>时22222211()()0cos 0sin |122xx F x f t dt dt tdt dt t ππππππ---∞-∞-==++==⎰⎰⎰⎰ 于是所求分布函数为0211()sin 222212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩；(3) (0)()(0)()(0)444p X p X p X F F πππ<≤=≤-≤=-1111sin sin 0242224π=+--=. 17、设随机变量X 的分布函数为1()ln 11x F x xx e x e<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<；(2) X 的密度函数？解：(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===5(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4p X p X F F <<=<≤=-=-=；(2) 由于在()F x 的可导点处，有()()f x F x '=，于是X 的密度函数为11()0x ef x x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.18、设~(1,6)K U ，求方程210x Kx ++=有实根的概率？ 解：由~(1,6)K U 得K 的密度函数为116()5k f k ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又由于方程210x Kx ++=有实根等价于240K -≥，即||2K ≥，于是方程有实根的概率为22(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞-∞≥=≤-+≥=+⎰⎰621455dk ==⎰. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟)服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率(1) X 至多3分钟； (2) X 至少4分钟；(3) X 在3分钟至4分钟之间； (4) X 恰为3分钟？解：(1) X 至多3分钟的概率为0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -⨯-≤==-=-；(2) X 至少4分钟的概率为0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -⨯-≥=-<=-=--=；(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=- 0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -⨯-⨯--=---=-；(4) X 恰为3分钟的概率为(3)0p X ==.20、设~(0,1)X N ，求下列事件的概率( 2.35)p X ≤；( 1.24)p X ≤-；(|| 1.54)p X ≤？解：( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=；( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=； (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ- (1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=⨯-=.21、设~(3,4)X N ，(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >；(2) 确定c ，使得()()p X c p X c >=≤；(3) 若d 满足()0.9p X d >≥，则d 至多为多少？解：(1) 23353(25)()222X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=23323(||2)1(||2)1()222X p X p X p ---->=-≤=-≤≤1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ10.69150.99380.6977=+-= 333(3)1(3)1()22X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=；(2) 由()()p X c p X c >=≤得1()()p X c p X c -≤=≤3330.5()()()222X c c p X c p ---⇒=≤=≤=Φ 3032c c -⇒=⇒=； (3) 由()0.9p X d >≥得3330.9()1()1()1()222X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33()0.11()0.122d d--⇒Φ≤⇒-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622d d d --⇒Φ≥⇒≥⇒≤.22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值为4h ，标准差为20min 的正态分布.(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率； (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率？ 解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为240260240240(260)()1(1)202020X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=；(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为240250240(250)()(0.5)0.69152020X p X p --≤=≤=Φ=； (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为220240240260240(220260)()202020X p X p ---≤≤=≤≤(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从2(72,)N σ，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率？解：设考生的外语成绩为X ，则2~(72,)X N σ 由96分以上的人数占总数的2.3%得0.023(96)p X =>729672240.977(96)()()X p X p σσσ--⇒=≤=≤=Φ242σ⇒=12σ⇒=于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为6072728472(6084)()121212X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.24求cos Y X =的分布列？解：由X于是Y25求2Y X =的分布列？解：由26、设随机变量的密度函数为2311()2X xx f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它求随机变量3Y X =+的密度函数？解：由题意知，当2y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当24y <<时，有()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-当4y ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=即Y 的分布函数02()(3)2414Y X y F y F y y y ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(3)240X F y y '-<<⎧=⎨⎩其它23(3)2420y y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它.27、设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量XY e =的密度函数？ 解：由题意知，当1y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当1y e <<时，有()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=当y e ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=即Y 的分布函数1()(ln )11Y X y F y F y y e y e≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(ln )10XF y y e'<<⎧=⎨⎩其它110y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.28、随机变量X 的密度函数为0()0xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩求随机变量2Y X =的密度函数？解：由于20Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；当0y ≥时，有2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤≤0()1x X f x dx dx e -===-即Y 的分布函数10()0Y e y F y y ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩于是，Y 的密度函数0()()00Y Y y f y F y y >'==≤⎩.29、设随机变量~(0,1)X N ，试求随机变量||Y X =的密度函数？ 解：由于||0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当0y ≥时，有()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-即Y 的分布函数2()10()00Y y y F y y Φ-≥⎧=⎨<⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=2()00y y y 'Φ>⎧=⎨≤⎩22000yy y ->=≤⎩.B 组1、A2、B3、D4、B5、B6、B7、C8、C9、C10、C11、设随机变量X 的分布函数为0111()21232x a x F x a x a b x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎪⎩且1(2)2p X ==，求常数a 、b ？ 解：由()1F +∞=及()()(0)p X a F a F a ==--得()121(2)(2)(20)()()32F a b p X F F a b a +∞=+=⎧⎪⎨==--=+--=⎪⎩1726a b a b +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩1656a b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.12求常数a ？解：由11ii p+∞==∑得20.5121a a +-+=12a ⇒=±再由11202a a -≥⇒≤，可得12a =-. 13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求X 的分布列； (2) 求X 的分布函数？解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、24356(5)10C p X C ===于是X(2) 由(1)可知的分布函数为030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.14、设随机变量X 的密度函数为||()x af x Ce -= (0)a >求(1) 常数C ；(2) X 的分布函数；(3) (||2)p X <？解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得||0()2221x x aaf x dx C e dx C e dx aC +∞+∞+∞---∞====⎰⎰⎰12C a⇒=； (2) 当0x <时 ||111()()222t t xa a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞-∞-∞====⎰⎰⎰当0x ≥时||||0011()()22t t a a xx F x f t dt e dt e dt a a---∞-∞==+⎰⎰⎰ 001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-⎰⎰于是102()1102xa x a e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩；(3) 22211(||2)(22)(2)(2)1122a a a p X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-. 15、设随机变量X 的密度函数为201()0xx f x ≤≤⎧=⎨⎩其它以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求(2)P Y =？解：由题意知：事件1{}2X ≤在一次观察中出现的概率为1112222001()02|4p f x dx dt xdx x -∞-∞==+==⎰⎰⎰ 且~(3,)Y b p ，于是223139(2)()()4464P Y C ===. 16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为510()5x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求(1)p Y ≥？解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为5521010101()|5x x p f x dx e dx e e +∞+∞--+∞-===-=⎰⎰且~(5,)Y b p ，于是02025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=.17、设随机变量2~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=，求(0)p X <？ 解：由2~(2,)X N σ得224242(24)()()(0)0.3p X p X σσσ---<<=<<=Φ-Φ=2()0.8σ⇒Φ=0222(0)()()1()10.80.2p X p X σσσ-⇒<=<=Φ-=-Φ=-=.18、设随机变量X 的分布函数为()F x ，试求随机变量()Y F X =的密度函数？ 解：由于0()1F X ≤≤，故当0Y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当01y ≤≤时，有11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==当1y >时，有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数00()0111Y y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=101y <<⎧=⎨⎩其它即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.。