X X
2

2 2 2 x1 x2 xn

max { xi }
(3)向量的1－范数：
X
1
xi
i 1
1i n n
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4

3 || b ||2 4 0.513 10 0.01% 此时精确解为 x* ||b ||2 1.0203
|| x ||2 2.0102 > 200% || x ||2
A A x x
#证毕
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条件数和病态矩阵
定义：（条件数）
Condp ( A) A p A1
p

p
表示A的某种范数
设 Ax b ， A 引入误差 A 后，解引入误差 x ，则
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向量的范数
例1 考虑下面的两个线性方程组：
6 x2 8 6 x2 8 2 x1 2 x1 与 2 x1 6.00001x2 8.00001 2 x1 5.99999 x2 8.00002
计算cond (A)2 。
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解：考察 A 的特征根 de t(I A) 0 1 1.980050504 2 0.000050504
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定义 设向量XRn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件: (1)非负性: ‖X‖0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, kR； (3)三角不等式:对任意 X,YRn ,都有: ‖X+Y‖‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。 定义：设X=(x1,x2,…,xn)T Rn ,则定义: (1)向量的2－范数： (2)向量的－范数：
x1 1 x 和 其解分别为： x2 1
x1 10 x x2 2
在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代 法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利 用向量与矩阵的范数的概念。
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定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数
A 1 max aij
1 j n
n
列和的最大值 行和的最大值
A max aij
1i n
i 1 n
A 2 max
① ② ③ ④ ⑤
j 1
max 是ATA的最大特征值，也称为谱范数
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同样，类似有
A( x x) b b Ax b
x
x
A
1
A
b
b
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注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。

( A A)(x x) b ( A A)x b Ax A x A x x ( A A)1A x 1 1 1 A( I A A) ( A A) x 1 ( A A) A x ( I A1A) 1 A1A
矩阵范数和条件数
定义:设矩阵ARn×n ,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R;
(3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖.
则称‖A‖为矩阵A的范数.


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( I A1A) 1 A1 A ( I A1A) 1 A1A
注意到
因为：
( I B)
1
1 1 B
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
例
1 A 0.99 1.99 0.99 , b 0.98 1 . 97
1 精确解为 x 1 . 9800 9900 1 A = 9900 10000
D (I B)1 1 I (I B)D D BD D B D D (1 B )
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x
x
A
测试病态程度： 0.97 10
2 x x * x 2.0203
1 cond ( A) 2 39206 >> 1 2
为对称矩阵
，其相对误差为 给 b 一个扰动 b 0.106 10 3
1
1 A 1 A1A
条件数

A
1
A
1
A
1
A
1
A
A
1 A
A
1 A
A
A
A
A
1
A
A
A
很小
条件数表示了对误差的放大率
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定义：设向量XRn ,矩阵ARn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称
A p max
X 0
AX X
p
p
max AX p , p 1,2,
X 1
为由向量范数派生的矩阵算子范数.
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定义：设A=(aij)n×n,的特征值为r，定义A的谱半径为：
( A) max r
1 r n
定理： ‖A‖为矩阵A的范数，则易知： 证： x A x x为A的特征向量
( A) A
x A x
x x A x A x
矩阵范数的一些性质：
A 0,&, A 0 A 0
A A , R
A B A B , A, B Rnn AB A B , A, B Rnn Ax A x , x Rn
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