第6单元 变量分离的方程
一. 教学目标
1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。
2． 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。
二. 知识点
1. 分离变量法
三. 教学重点、难点
对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点
考虑微分方程
0),(),(=+dy y x Q dx y x P （2.2.1）
若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：
0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X （2.2.2）
变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？
一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：
0)()(=+dy y Y dx x X （2.2.3）
（2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为
C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( （2.2.4）
由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除（2.2.2）式的两侧，得到
0)
()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。
分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为
C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)
()()()(11 （2.2.6） 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的.
附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知a x =（或b y =）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.
例1 求解微分方程
0)1)(1(2
2=+-+xydy dx y x （2.2.7）
解 当0)1(2≠-y x 时，方程（2.2.7）可改写为等价的方程 01
122=-++dy y y dx x x ， 积分得
C y x x ln 1ln )ln(222=-++，
即 C y e
x x =-1222，
亦即 222
1x
e C y x
-⋅+= （2.2.8） 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许（2.2.8）中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于（2.2.8）中.因此方程（2.2.7）的通积分为 2221x e C y x -⋅
+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .
例2 求微分方程)1(d d 2y x x
y y -=的通解. 解 当1±≠y 时，分离变量得
x x y y y d d 12=-，等式两端积分得 12d d 1C x x y y y +=-⎰⎰， 1222
11ln 21C x y +=-， 1222e ,
e 1C x C C y --±==-
方程的通解为 2
e 12x C y --=。
显然012=-y 即1±=y 是原方程的解，而此解可在通解中令0=c 得到.
例3 求下列微分方程的所有常数解：
（1）0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x ；
（2）
y x x
y sin d d 2=： （3）y x x y tan d d 2=。
解 （1）由012=-y ，得1±=y ；由012
=-x ，得1±=x 。
所以方程的所有常数解为1,1±=±=x y 。
（2）由0sin =y ，得πk y =， ,2,1,0±±=k ，所以方程的所有常数解为πk y =， ,2,1,0±±=k 。
（3）由0tan =y ，得πk y =， ,2,1,0±±=k ，所以方程的所有常数解为πk y =， ,2,1,0±±=k 。
例4 求解微分方程
31
'23y y = （2.2.9） 并作出积分曲线族的图形.
解 当0≠y 时，将（2.2.9）改写为dx y dy
2
331
=，两边积分，得 C x y +=3
2， （0≥+C x ），
或 32)(C x y +=， （C x -≥） （2.2.10）
最后，还有特解0≡y ，它不包含在（2.2.10）之中.
利用方程（2.2.9）并参照通积分（2.2.10），可以作出积分曲线族的图形。
由图形不难看出，过x 轴上的每一点)0,(x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.
总之，微分方程（2.2.9）满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.
我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.
1．求解下列微分方程：
（1） 221xy y x dx
dy +++=；
解 分离变量，得
dx x y
dy )1(12+=+， 积分后得通积分
C x x y ++
=22
1arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++
=. （2） 2)2cos (cos y x dx
dy =； 解 分离变量，得
xdx y dy 22cos 2cos =， 积分后得通积分
C x x y =--2sin 2
12tan . 此外由02cos =y 可求得特解4
2ππ+=n y . （3） 21y dx
dy x -=； 解 分离变量，得
x
dx y dy
=-2
1， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .
此外还有特解1±=y .
（4） y x
e
y e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得
dx e x dy e y x y )()(--=+，
积分后得通积分
C e e x y x y =-+--)(222.
2．求解下列微分方程的初值问题：
（1）0=+-dy ye xdx x
，1)0(=y ；
解 将方程改写为 0=+ydy dx xe x ，积分后得通积分
C y e xe x x =+
-22
1. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22
=++-y e x x . （2） 21ln y
x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，
积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 3
13. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .
所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+
x x x y y . （3）321xy dx
dy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x xdx
dy y +=，
积分后得通积分 C x y
=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为
312122=++x y .
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