点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点K 满足，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且||||NK MK =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略： .31ED OK =13422=+y x ，)21,0(K（Ⅱ）分析：∵||||NK MK =，设MN 的中点为H ，则MN KH ⊥，此条件涉及到弦MN 的中点及弦MN 的斜率，故用“点差法” 设),(),,(),,(002211y x H y x N y x M ，直线l 的斜率为k （)0≠k ， 则 12432121=+y x ① 12432222=+y x ② 由①－②得：0430))((4))((30021212121=+⇒=+-++-k y x y y y y x x x x 又∵||||NK MK =，则MN KH ⊥，∴12100-=•-k x y ，从而解得23,200-==y k x ，点),(00y x H 在椭圆内，则21214113422020<<-⇒<⇒<+k k y x 且0≠k 8、已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b +=，（1）2222221x y a b +=，（2）()()12-得：2222121222x x y y a b--=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OPy y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 二、双曲线1、过点P (4,1)的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A 、B 两点，且P 为AB 的中点，求l 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减得： 14(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∵P 为AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2. ∴y 2－y 1x 2－x 1＝1，即所求直线l 的斜率为1，∴l 方程为y －1＝x －4，即x －y －3＝0.2、设A 、B 是双曲线x 2－y22＝1上的两点，点N (1,2)是线段AB 的中点，(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ [分析] 要证明A 、B 、C 、D 四点共圆，首先判断圆心所在位置，若A 、B 、C 、D 四点共圆，则∵CD 垂直平分AB ，据圆的性质知，圆心在直线CD 上，∴CD 中点M 为圆心，只要证明|AM |＝|MB |＝|CM |＝|MD |即可．[解析] (1)依题意，可设直线AB 方程为y ＝k (x －1)＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，y ＝k (x －1)＋2，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －(2－k 2)－2＝0① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵x 1、x 2是方程①的两个不同的实根，所以2－k 2≠0. 由韦达定理得，x 1＋x 2＝2k (2－k )2－k 2.由N (1,2)是AB 的中点得，x 1＋x 22＝1. 即k (2－k )＝2－k 2.解得k ＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2－y22＝1，得x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3,4)，B (－1,0)．∵CD 是线段AB 的垂直平分线，所以CD 所在直线方程为y ＝－x ＋3. ⎩⎪⎨⎪⎧由x 2－y 22＝1，y ＝－x ＋3，得x 2＋6x －11＝0. 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，CD 的中点为M (x 0，y 0)．由韦达定理，得x 3＋x 4＝－6，x 3x 4＝－11. 从而x 0＝12(x 3＋x 4)＝－3，y 0＝－x 0＋3＝6.|CD |＝(x 3－x 4)2＋(y 3－y 4)2)＝2(x 3－x 4)2＝2[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝410，|CM |＝|MD |＝210.∵|MA |＝|MB |＝(x 0－x 1)2＋(y 0－y 1)2＝210.∴A 、B 、C 、D 四点到M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆． 3、已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1. 试问：是否存在被点B (1,1)平分的弦？如果存在，求出弦的直线方程，如果不存在，请说明理由． [分析] 易判断出点B (1,1)在双曲线的外部，不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可能是90°.[解析] 解法一：设被B (1,1)所平分的弦所在的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程x 2－y 22＝1，得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.∴Δ＝[－2k (k －1)]2－4(k 2－2)(k 2－2k ＋3)>0.解得k <32，且x 1＋x 2＝2k (k －1)k 2－2.∵B (1,1)是弦的中点，∴k (k －1)k 2－2＝1，∴k ＝2>32.故不存在被点B (1,1)所平分的弦．解法二：设存在被点B 平分的弦MN ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，①x 22－y222＝1.②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，故直线MN ：y －1＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝2(x －1)，x 2－y 22＝1，消去y 得，2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝－8<0. 这说明直线MN 与双曲线不相交，故被点B 平分的弦不存在． [点评] 由本题可以看到：如果点B 在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在． 如果点B 在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能不存在． 因此，点B 在内部无需检验，点B 在外部必须检验．关于双曲线内部、外部，请看图，双曲线把平面划分开来，图中阴影部分为双曲线内部，另一部分为双曲线外部．4、设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ， ∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x k y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P .由2200a b x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.① 由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.②,由①、②得：3,00==y k x . 由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点， ∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴符合题意的k的值存在，2±=k .5、())()()2211221 ,6 ,0 , 513.y x A x y B C x y F AC -=在双曲线的一支上有不同的三点，，，与焦点12的距离成等差数列证明线段的垂直平分线经过某一点,并求出该点坐标.()()2222121122121212AC 121212121212 261213121213, 13121213,12 k1313y 2 213 6, 2y y y x y x x x y y x xx x y y y y x x x x x y x x x +=⨯=-=⨯-=⨯+-+===-+++⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭-=-++解:依题意有，则 ，13故AC 的中垂线方程为，13即由方程知其必.⎛⎫⎪⎝⎭25经过定点0,2三、抛物线1．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0[答案] C ，[解析] 设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2.∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4，∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0. 2．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.3．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求弦AB 所在的直线方程．[答案] 4x －y －15＝0[解析] 解法一：设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，② x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③ ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.4、（2004•福建）如图，P 是抛物线C ：y=x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q ． （Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求的取值范围．【分析】（1）设M （x 0，y 0），欲求点M 的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P ，Q 与中点M 的关系结合中点坐标公式求解， （2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决． 【解答】解：（Ⅰ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），M （x 0，y 0），依题意x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．由y=x 2，①得y'=x ．∴过点P 的切线的斜率k=x 1， ∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣，∴直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣（x ﹣x 1），②联立①②消去y ，得x 2+x ﹣x 12﹣2=0．∵M 是PQ 的中点∴x 0==﹣，y 0=x 12﹣（x 0﹣x 1）消去x 1，得y 0=x 02++1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1（x ≠0）．方法二：设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、M （x 0，y 0），依题意知x 1≠0，y 1＞0，y 2＞0．由y=x 2，① 得y ′=x ．∴过点P 的切线的斜率k 切=x 1，∴直线l 的斜率k l =﹣=﹣，直线l 的方程为y ﹣x 12=﹣（x ﹣x 1）．②方法一：联立①②消去y ，得x 2+x ﹣x 12﹣2=0．∵M 为PQ 的中点，∴x 0==﹣，y 0=x 12﹣（x 0﹣x 1）．消去x 1，得y 0=x 02++1（x 0≠0），∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2++1（x ≠0）．（Ⅱ）设直线l ：y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T （0，b ）． 分别过P 、Q 作PP'⊥x 轴，QQ'⊥x 轴，垂足分别为P'、Q'，则=．由y=x 2，y=kx+b 消去x ，得y 2﹣2（k 2+b ）y+b 2=0．③ 则y 1+y 2=2（k 2+b ），y 1y 2=b 2．∴=|b|（）≥2|b|=2|b|=2．∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴的取值范围是（2，+∞）．5、例（05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=，∴)81,0(,41F p =.设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 6、243(0),y x y kx k ==+≠若抛物线 上存在关于直线 对称的两点求k 的取值范围.()()()()()()()()22112211221200121212121200000002: ,,30,4,4,4421,. 4, . 23323, 2 4AB A x y B x y y kx k y x y x y y AB p x y y y y y x x k x x y y y y ky y k y kx x k k p =+≠==-∴+-=-=====--+-∴=-=+∴==--∴<解设，是抛物线上关于直线 对称的两点则 设的中点 又点在抛物线内部,-2k ()()()()23232332, 200,230, 130, 1,0,230, 130, 1,-10.k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--++< ⎪⎝⎭>++<∴+-+<<-<++>∴+-+>>-<<即 当则 即无解. 当则 即故7、已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.证明设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，则2211221x y a b+=，（1）2222221x y a b +=，（2）()()12-得：2222121222x x y y a b --=-，()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()2121221212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP y y k x x +=+，221AB OPb k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）.8、已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是002281282012x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，解得00114x y =⎧⎨=-⎩，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-.又21132y x =，（1）22232y x =，（2）()()12-得：()22121232y y x x -=-，121212323248BC y y k x x y y -∴====--+-.BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=。