对称性与守恒律
物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。

后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。

而守恒律和对称性有紧密联系。

了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。

一、什么是对称性
对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。

对称性的定义如下。

若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。

简言之，对称性就是某种变换下的不变性。

二、物理学中几种常见的（对称）变换
1.空间变换
1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。

例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。

2）转动：绕某定点或轴线的转动
前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。

一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称……
3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。

指对镜面作物像变换。

紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。

●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量
按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。

一类，以位移
为例，其镜像为，如图1(a)所示。

它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。

，，等都是极矢量。

另一类矢量，如图1(b)中右侧所示一沿圆轨道运动的质点的角速度。

保持角速度方向与轨道旋向成右手关系的规定不变，则其镜像为左侧的。

和
沿镜面的
平行分量反向，而垂直分量方向相同。

这类矢量叫轴矢量，又称赝矢量。

两个极矢量的矢量积必定是轴矢量，所以，如角动量，力矩
等都是轴矢量。

4）空间反演：对位矢作
的变换
一立方体对其体中心具有空间反演对称性。

空间反演相当于镜面反射加上绕镜面法线旋转180°的联合变换。

其他的空间变换还有：标度变换（尺度的放大与缩小）、置换变换（体系成份的
位置调换）等。

2.时间变换 1）时间平移：作
的变换
匀速运动物体的速度对任意时间平移具有对称性。

变化周期为T 的系统对
(n 为整数)的时间平移有对称性。

2）时间反演：作的变换，即通常所谓“时光倒流”
●速度的时间反演，有
，方向相反，即不具时间反演不变性。

●加速度的时间反演，因
，故具有时间反演不变性
●保守力只与位置有关，故对时间反演不变；耗散力与速度方向有关，故对时间
反演不具不变性。

由上不难理解，在保守力作用下运动的系统，其运动过程的录像，无论正、反放
映都符合力学规律，而有非保守力作用的系统其运动的时间反演就会违背牛顿定律。

(a)极矢量 (b)轴矢量
图1
例如，把一个穿着宽大衣袍的人自墙头跃下的录像倒映，尽管已变为纵身跃上墙头，但从衣袖飘动的方向上就会发现破绽，而如果改穿紧身衣，观众就无法判断录像究竟是正放还是倒着放的了。

3.联合变换：最重要的就是时空联合变换。

伽利略变换、洛仑兹变换均属时空联合变换。

除上述基本变换外，物理学中还有电荷共轭变换（粒子、反粒子的变换）、规范变换等。

需要指出的是，物理学中还将对称性的概念延伸至讨论物理规律。

若物理规律在某种变换下形式不变，则称此规律对此变换具有对称性。

例如牛顿定律对伽里略变换具有对称性，麦克斯韦电磁场方程组对洛仑兹变换具有对称性等。

三、对称性原理
自然规律反映了事物之间的“因果关系”，就是在一定的条件（原因）下会出现一定的现象（结果）。

因果之间规律性的联系体现为可重复性和预见性，即相同（或等价）的原因必定产生相同（或等价）的结果。

用对称性的语言来表述这个结论就给出了对称性原理。

原理的内容如下：原因中的对称性必然反映在结果中，结果中的对称性至少和原因中的对称性一样多；结果的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少和结果中的不对称性一样多。

对称性原理是自然界的一条基本原理，有时，在不知道某些具体物理规律的情况下，我们可以根据对称性原理进行分析，对问题给出定性或半定量的结果。

例如，根据对称性原理容易论证，一个只受有心力作用的质点，必定在由初速度。

及力心决定的平面内运动。

因为全部原因（力、初始
条件）对所述平面具有镜像反射对称性
（其镜像就是自身），所以结果（质点运
动）也必定具有同样的镜面反射对称性，
故质点的运动不可能偏离此平面。

同理，
我们可以判断一个电荷均匀分布的带电
球体对球外一点电荷P的静电力的方向必
图2
定沿球心O与P的连线，因为电荷分布（原
因）对OP轴呈旋转轴对称，电力方向（结果）对OP轴线的任何偏离都将失去这一对称性，从而违背对称性原理，因此是不可能的。

有的问题，利用对称性原理可以大大简化计算。

例如图3所示连接的电阻，各电
阻阻值相同，同为R，求A、B两端的等效电阻R AB。

由图可知，这是一个不能简单分解为串联或并联的复联电阻，可利用对称分析求解。

方法如下
图3
设有电流I经A流入，后分为两支，A C为I1，则A D为I－I1，因A、B位置具置换对称，由对称性原理知，自B流出的两分支电流分别为：C B I I1，D B I1由节点电流关系，C D电流为 I1－(I－I1)＝2I1－I
由两分支计算A、D间电压，有
2R(I－I1)＝RI1＋R(2I1－I)
解得
故等效电阻
四、对称与守恒
所谓“守恒”的基本涵义，是指任给一组描述系统随时向变化的方程，必能从中寻找到一个始终不变的物理量——守恒量。

如何决定守恒量？德国女数学家A·E·Noether给出定理：作用量的每一种对称性都将有一个守恒量与之对应。

这个定理可用下述箭头关系显示
对称性守恒量
根据Noether的定理：
相互作用的时间平移对称性能量守恒
相互作用的空间平移对称性动量守恒
相互作用的转动对称性角动量守恒
严格的证明，已超出本课程范围，这里仅从普通物理的角度给予说明。

●空间平移对称与动量守恒
设A 、B 为一对相互作用质点，采用两种方式改变其状态
①
A 不动，
B 平移至
， 作用能增量，
状态由AB
AB ′
②
B 不动，A 平移
至
， 且B A
r d r d ϖϖ-=，作用能增量
状态由AB
因为
和
是两个空间平移状态，
若相互作用具平移对称，则此两状态等价， 相互作用能量应相同，即dE P1=dE P2 有
位移
可任取，则必有
，依据力等
于动量变化率的定义，此式与动量守恒等价， 故有体系的动量守恒。

●转动对称与角动量守恒
仍讨论一对质点A 、B ，使B 绕A 旋转至
，位移为，则作用能增量。

若相互作用具旋转对称性，则AB 状态与等价，能
量相等，即dEp=0。

由于任意，故必有。

对应转动位移，则的方向必然通过A ，即相互作用为中心力，因而体系角动量守恒。

上述讨论都是从对称性导出守恒量，反过来
也可由观测到的守恒量寻找与之相应的对称变换和对称性。

例如，物理学史上就由观测到电荷守恒而找到了相应的“规范变换”和“规范对称性”。

*结束语
对称性在物理学中具有深刻的意义。

一种对称性的发现远比一种物理效应或具体
物理规律的发现的意义要重大得多！例如，源于电磁理论的洛仑兹不变性，导致力学的革命；爱因斯坦为寻找引力理论的不变性而创立了广义相对论；狄拉克为使微观粒子的波动方程具有洛仑兹不变性，修正了薛定谔方程，并根据方程解的对称性预言了反电子（正电子）的存在，进而使人们开始了对反粒子、反物质的探索；对称性以它强大的力量把那些物理学中表面上不相关的东西联系在一起——关于基本相互作用的
图4(b)
A r d ρ
A '
B '
大统一理论；粒子物理中关于对称性和守恒量的研究更是作为一种基本的研究方法贯穿其中……那么，在继续探索未知的过程中，对称性规律的研究又将向我们揭示多少深层次的奥秘？展现多么奇妙的世界？。