D2h D3h
Dnd群
D2d D3d
C4 C4v C4h D4 D4h
Sn群 S2 (Ci)
S4
Td群 T
Th
Td
Oh群 O
Oh
C6 C6v C6h D6 D6h
S6 (C3i)
下一页
32种点群
11种纯旋转点群：C11，，2C，2，3，C3，4，C46，，C6， 2D22，2，D33，2，D4，42D26，，6T2，2，O 23，432
轴。
晶体宏观对称要素
10种对称要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i
m (σ)
33 = C3 + i
4
66= C3 + m
晶体宏观对称要素
8 种独立对称操作要素：
C1
无
C2
C3
C4
C6
i m (σ)
4
点群
n次旋转轴：n =360°/ α, 用记号Cn表示
对称操
如：
C
1 6
，C
2 6
，C
3 6
，C
4 6
，C
5 6
43m
Td
E, 8C3, 3C2, 6σd , 6S4 24
m3m (m3m)
Oh E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4, i, 48 8S6, 3σh, 6σd , 6S4
晶体点群的种类
点群
典型类型
Cn群 C1
C2
C3
Cnv群
C2v
C3v
Cnh群 C1h (m) C2h
C3h
Dn群
D2
D3
Dnh群
6
E, 2C3, 3σv
6
32/m D3d (3m)
E, 2C3, 3C2, i, 2S6, 3σv
12
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
4
C4
正4
S4
方 4/m C4h
422
D4
4mm C4v
42m D2d
4/mmm D4h
对称操元素
操作 数
E, 2C4, C2
4
E, 2S4, C2
4
E, 2C4, C2 , i, 2S4,σh
12
6/mmm D6h
E,
2C6,
2C3,
C2,
3C
' 2
,
3C
'' 2
24
, i, 2S3, 2S6, σh, 3σv , 3σd
晶 国际符号 熊夫利
体
符号
对称操元素
操作 数
23
T
E, 8C3, 3C2
12
正 m3 (m3) Th
方 432
O
E, 8C3, 3C2, i, 8S6, 3σh 24 E, 8C3, 3C2, 6C2, 6C4 24
C=P
F=I
三 角
与本晶系对 称不符
I=F
F=P
六
与本晶系对 与空间格子 与空间格子
角
称不符 的条件不符 的条件不符
立
与本晶系对
方
称不符
思考题：
• 为什么没有底心四方和面心四方？
• (因为这会构成另一简单四方和体心四方)
• 为会么体心立方不是三角点阵？
• （提示，从对称性考虑）
• 为什么没有体心三角？
§1-3 晶体的对称性
晶体结构 = 点阵 + 基元 由点阵所组成的网格称为布喇菲格子 布喇菲格子代表晶体基元在空间周期排列的重复 特征, 这种微观的平移对称性可导致宏观上的其 它对称性, 包括：转动、镜面、反演点对称性。
布喇菲格子排列形式是否有限？有多少 种？ 是否存在任意次旋转对称轴？ 对称操作是否可以任意组合？是否有限？
⎢0 0 0⎥
⎢r41 0 0 ⎥
⎢0 ⎢⎣ 0
r41 0
0⎥ r63 ⎥⎦
4
晶体电光系数
Trigonal 3m
e.g. LiNbO3, LiTaO3;
Tetragonal 4mm
e.g. SBN, BTO
⎡0
-r22
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
-r22
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33
⎥ ⎥
0⎥
介质晶体分类
介电晶体 （32种） 压电、倍频晶体 （20种） 热释电晶体 （10种）
铁电晶体
非中心对称点群与物理性质的联系图
对 映 11 体种 现 象
旋光性
圆二色性
（15种）
O
S4
D2 C1
D3 D4
D6 T
C2 C3 C4 C6
D2d
CS C2V C3V C4V C6V
（10种） 热释电晶体
铁电晶体
• A⎭ a1, a2 ; a2 , a3; a3 , a1.
• R 三角（菱形）格子
晶体空间群
空间群 = 转动（点群） + 平移
国际符号
• 空间群的符号则是首先写出平移系的符 号(P, I, F, C, B, A, R), 接着写出对称素 (按照晶体类型的顺序).
一、点式（简单）空间群
• bcc与fcc的对称操作一样, 点群一样, 但平移对 称性不一样, 要区别这两种晶体, 需引入空间群 来描述, 即把点群与平移对称性组合起来。 bcc=Oh|I fcc=Oh|F
简单单斜 底心单斜
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
1, 1
既无对称轴也无对 称面
2,m,2 / m
一个二次旋转轴, 镜面对称
222, mm 2, mmm 三个互相垂直的二
次旋转轴
晶系
特征
布喇菲格 子
点群(国际符号)
三角
a=b=c
Trigonal α = β = γ ≠ 90°
三角
3, 3,32,3m, 32 / m
乘反演算符Ci
1111种 种中 中心 心对 对称 称点 点群 群： ：1 C，i，2/Cm2,h,3C3,i,4/Cm4h,, 6C/6hm，，Dm2hm，m，D33dm，，D44h/，mmDm6h，，6T/hm，mmO，h m3，m3m
没有1 (i)新子群
1100种 种新 新点 点群 群： ： mCS，，mC2mV,2S,44,，D24dm, 2C，4V4,mCm3V，, C33mh,，D63，h，6mC62V，，6mTdm，43m
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
8
E, 2C4, C2 , 2σv , 2σd
8
E,
2S4,
C2
,
2
C
' 2
,
2σd
8
E,
2C4,
C2
,
2
C
' 2
,
2
C
'' 2
16
, i, 2S4,σh, 2σv , 2σd
晶 国际符 熊夫利 体 号 符号
对称操元素
操作 数
六6
C6
E, 2C6, 2C3, C2
压电效应 倍频效应 （20种）
晶体电光系数
cubic 43m
e.g. GaAs, CdTe, InAs
⎡0 0 0⎤
⎢ ⎢
0
0
0
⎥ ⎥
⎢0 0 0⎥
⎢ ⎢
r 41
0
0
⎥ ⎥
⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0
r 41 0
0⎥
r 41
⎥ ⎥⎦
Tetragonal 42m
e.g. KDP, ADP
⎡0 0 0⎤
⎢0 0 0⎥
6 6
具有对称元素：E, 2C6, 2C3, C2
七类晶系， 14种布喇菲格子，32点群
给定晶格对称性
布喇菲格子
各对称元素相互间有一定的制约, 共同存在于一晶 体中,七类晶系， 14种布喇菲格子。
晶体学中的点群对称是由8个独立的对称操作元素 及其组合而得到的。但其组合不是任意的, 而是受 到布喇菲格子的限制，共有32种点群。
⎢r
⎢ ⎢⎣
51
-r22
0 0
0⎥ ⎥
0 ⎥⎦
⎡0
0
r 13
⎤
⎢ ⎢
0
0
r 13
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
0
0 r
51
r 33 0
⎥ ⎥ ⎥
⎢r ⎢ 51
0
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
晶体结构符号
• P 简初基格子
• I 体心格子 • F 面心格子 • C⎫ 底心格子 • B⎬ C、A、B分别指下列三对晶轴所形成的底面:
mmm
D2 (V)
E,
C2,
2C
' 2
4
C2V
E, C2 , 2σv
4
D2h (Vh) E, C2, 2C2', i, σh, 2σv 8
2
晶 国际符 熊夫利
体号
符号
对称操元素
操作 数
3
C3
E, 2C3
3
3 C3i (S6)
E, 2C3, i, 2S6
6
三 32
D3
角
3m
C3v
E, 2C3, 3C2
6
角
6
C3h
E, 2C3, σh , 2S3
6
6/m C6h E, 2C6, 2C3, C2, i, 2S3, 2S6, σh 12