高中数学学案:函数模型及其应用1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．2. 初步运用函数思想,理解和处理现实生活中的简单问题.1. 阅读:必修1第98～100页．2. 解悟:①读题:读懂和深刻理解题意,译为数学语言,找出主要关系；②建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；③求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解；④检验:对结果进行验证或评估,对错误加以调整,最后将结果应用于现实,做出解释或验证．3. 践习:在教材空白处,完成第100页练习第3题.基础诊断1. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__．2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%,按月计算．为获取最大利润,此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)解析:买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42,所以存入银行获取最大利润．3. 司机酒后驾驶危害他人的安全,一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ,那么一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过__5__h ,才能开车. (精确到1 h )解析:设x h 后,驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ,则0.3×(1－25%)x ≤0.09,即⎝ ⎛⎭⎪⎫34x≤0.3.令x ＝1,2,3,4,可得⎝ ⎛⎭⎪⎫34x >0.3.当x ＝5时,⎝ ⎛⎭⎪⎫345<0.3,故至少经过5 h ,才能开车．4. 在某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间x8 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品__80__件．解析:由题意得,生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·x 8＝800＋x 28,所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝800＋x 28x ＝800x ＋x8(x 为正整数)．由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ×x 8＝20,当且仅当800x ＝x8,即x ＝80时,f(x)取得最小值,故每批应生产产品80件．范例导航考向❶ 分段函数型应用问题例1 某企业生产A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润y 与投资金额x 成正比,其关系如图1；B 产品的利润y 与投资金额x 的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资金额单位:万元).图1图2(1) 分别将A,B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；(2) 已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入A,B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润？②如果你是企业老板,怎样分配这18万元资金,才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解析:(1) 设A 产品的利润为f(x)＝k 1x,B 产品的利润为g(x)＝k 2x. 由图可知,f(1)＝0.25,即0.25＝k 1,即k 1＝14, 所以f(x)＝14x.g(4)＝4,即2k 2＝4,解得k 2＝2, 所以g(x)＝2x.故A,B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝14x,g(x)＝2x. (2) ①由题意得,18÷2＝9(万元),所以总利润为14×9＋29＝334(万元)．故平均投入生产两种产品,可获得利润334 万元．②设对B 产品投资x 万元,则对A 产品投资(18－x)万元,记企业获得的利润为y 万元, 所以y ＝14(18－x)＋2x(0≤x ≤18)． 设x ＝t,则x ＝t 2(0≤t ≤32),所以y ＝14(18－t 2)＋2t ＝－14(t －4)2＋172, 当t ＝4,即x ＝16时,y 取最大值172.故当对A 产品投资2万元,B 产品投资16万元时,该企业可获得最大利润,最大利润为172万元．如图,△OAB 是边长为2的正三角形．记△OAB 位于直线x ＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),则函数f(t)的解析式为__f(t)＝⎨2t 2， 0<t ≤1，2解析:由题意可知△OAB 为正三角形,则∠BOA ＝∠OAB ＝60°.当0<t ≤1时,f(t)＝12×3t ×t ＝32t 2；当1<t ≤2时,f(x)＝3－12×(2－t)×3(2－t)＝－32t 2＋23t －3；当t>2时,f(t)＝12×2×2×32＝ 3.综上所述,函数f(t)的解析式为f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， 0<t ≤1，－32t 2＋23t －3， 1<t ≤2，3， t>2.考向❷ 导数型应用问题例2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式:y ＝ax －3＋10(x －6)2,其中3<x<6,a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可销售该商品11千克．(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x 的值,从而使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析:(1) 由题意得,当x ＝5时,y ＝11, 所以a 5－3＋10×(5－6)2＝11,解得a ＝2.故a 的值为2.(2) 设商场每日销售该商品所获得的利润为W(x),则W(x)＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2,所以W′(x)＝10×[(x －6)2＋2(x －6)(x －3)] ＝30(x －6)(x －4)．于是,当x 变化时,W(x),W′(x)的变化情况如下表:由上表可知,当x ＝4时,函数W(x)在区间(3,6)上取得极大值也是最大值,所以当x ＝4时,W(x)max ＝42,故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大为42元．古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构,当横梁的长度一定时,其强度与宽成正比,与高的平方成正比,现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变),当高与宽的比值为时,横梁的强度最大．解析:设直径为d,矩形横断面的宽为x,高为y,由题意知,当xy 2取最大值时,横梁的强度最大．因为y 2＝d 2－x 2,所以xy 2＝x(d 2－x 2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d 2－x 2)(0<x<d),则f′(x)＝d 2－x 2＋(－2x 2)＝d 2－3x 2,令f′(x)＝0,解得x ＝33d 或x ＝－33d(舍去)．当0<x<33d,f′(x)>0；当33d<x<d时,f′(x)<0.故当x ＝33d 时,f(x)取极大值,也是最大值,此时y ＝63d 时,所以yx ＝ 2. 考向❸ 三角型应用问题例3 现有一个以OA,OB 为半径的扇形池塘,在OA,OB 上分别取点C,D 作DE ∥OA,CF ∥OB 交弧AB 于点E,F,且BD ＝AC.现用渔网沿着DE,EO,OF,FC 将池塘分成如图所示的三种养殖区域．若OA ＝1km ,∠AOB ＝π2,∠EOF ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(1) 求区域Ⅱ的总面积；(2) 若养殖区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的每平方千米的年收入分别为15万元、20万元、10万元．记年总收入为y 万元,试问当θ为多少时,年总收入最大？解析:(1) 因为∠AOB ＝π2,∠EOF ＝θ,OA ＝OB,BD ＝AC,所以OD ＝OC,所以Rt △ODE ≌Rt △OCF,所以∠EOD ＝∠FOC ＝π4－θ2,所以S △EOD ＝S △FOC ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2cos (π4－θ2)＝14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ,则S Ⅱ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝12cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(2) S Ⅰ＝12θ,S Ⅲ＝π4－12θ－12cos θ,则年总收入＝152θ＋10cos θ＋5π2－5θ－5cos θ＝52θ＋5cos θ＋5π2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2, 所以y′＝52－5sin θ,令y′＝0,得θ＝π6,所以当0<θ<π6时,y′>0；当π6<θ<π2时,y′<0,故当θ＝π6时,年总收入最大．自测反馈1. 某卡车在一时间段里的速度v(km /h )与耗油量θ(kg /h )之间有近似的函数关系式:θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27,则当车速为__35__km /h 时卡车的耗油量最少．解析:由题意得,θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27＝0.002 5(v －35)2＋1.207 5,所以当v ＝35km /h 时,卡车的耗油量最少．2. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y,则x 与y 的函数关系是__y ＝0.957__6x100__．解析:设经过一年剩下原来质量的a%,则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 100x ,由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 100100＝0.957 6,所以a 100＝0.957 61100,所以y ＝(0.95761100)x ＝0.957 6x100.3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为了降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y 应为__15,12__.解析:由直角三角形相似得24－y 24－8＝x 20,则x ＝54(24－y),所以矩形的面积＝[54(24－y)]×y ＝－54(y －12)2＋180,所以当y ＝12时,矩形的面积最大,此时x ＝15.1. 分段函数主要是每一段自变量所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值．2. 利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法):审题、建模、求模、还原.3. 你还有哪些体悟,写下来:。