2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章 函数与基本初等函数I第10节 函数的综合问题与实际应用一、课前小测摸底细1.(教材习题改编2)(x x f =，xx g 2)(=，x x h 2log )(=，当),4(+∞∈x 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．)()()(x h x g x f >>B ．)()()(x h x f x g >>C ．)()()(x f x h x g >>D ．)()()(x g x h x f >>【答案】B【解析】由图像知，当),4(+∞∈x 时，增长速度由大到小依次为)()()(x h x f x g >>．选B.2.【2013年长沙调研】已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示：下列说法中：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多；④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多．所有正确的说法是( )A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④ 【答案】D【解析】1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞1003克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少. 选D.3.某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60(℃)，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( )A ．8 ℃B ．78 ℃C ．112 ℃D ．18 ℃【答案】B【解析】由题意，下午3时，t ＝3，所以T (3)＝78. 选B.4.某人骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间(约占行程的三分之一左右的时间)，下面哪个图象与这件事相吻合（ ）5.某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一中品牌的车，在A 地的销售利润（单位：万元）为21 4.10.1y x x =-， 在B 地的销售利润（单位：万元）为22y x =，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是 万元.二、课中考点全掌握考点1：一次函数与分段函数模型【题组全面展示】【1-1】【2012年温州月考】某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元【答案】A【解析】依题意可设kt t S A +=20)(，mt t S B =)(，又)100()100(B A S S =，所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.【1-2】我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(即税率为x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．9【答案】A【解析】依题意，有(100－10x )×70×x 100≥112，所以2≤x ≤8. 【1-3】 甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地. 已知甲骑自行车比乙骑自行车快. 若每人离开甲地的距离S 与所用时间t 的函数用图象表示，则甲、乙两人的图象分别是( )A ． 甲是(1)，乙是(2)B ．甲是(1)，乙是(4)C ． 甲是(3)，乙是(2)D ．甲是(3)，乙是(4) 【1-4】4.图中折线是某电信局规定大长途电话所需要付的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系图像，根据图像填空：通话2分钟，需付电话费 元；如果3t ≥分钟，电话费y （元） 与通话时间t （分钟）之间的函数关系是 .x （元）6 3.65 3 O t (分钟)【答案】6 1.2(3)x t t =≥【解析】由图知，通话2分钟，需付电话费3.6元，通话5分钟，需付电话费6元，当3t ≥时，设x kt b =+，则有 3.6365k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得 1.2k =，0b =，所以 1.2(3)x t t =≥.【1-5】【2013年广州模拟】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元；（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，求出函数P ＝f (x )的表达式．）.综合定评：界函数运用题，首先要把求解目标表示为一个变量的函数，这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来，同时注意实际问题的函数定义域（指定的、根据实际意义的）一般不是由求出的函数解析式确定的.【基础知识重温】一次函数模型：b ax x f +=)(（a 、b 为常数，0≠a ）.【方法规律技巧】1．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．【新题变式探究】【变式一】某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．（Ⅰ）将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；（Ⅱ）试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？【变式二】某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h 的速度返回A地，把汽车离开A地的路程x(km)表示为时间t(h)（从A地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象.考点二：二次函数模型【题组全面展示】【2-1】将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为d，截面的面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域.【2-2】【2013年威海质检】某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台【2-3】某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一中品牌的车，在A 地的销售利润（位：万元）为21 4.10.1y x x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）为22y x =，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是（ ）A ． 10.5 B. 11万元 C. 43万元 D. 43.025万元【答案】C【解析】依题意，设在A 地销售x 辆汽车，则在B 地销售16x -辆汽车， 所以总利润222221214.10.12(16)0.1 2.1320.1()0.13224y x x x x x x =-+-=-++=--+⨯+， 因为[0,16]x ∈且x N ∈，所以当10x =辆或11辆时 ，总利润43Max y =万元. 故选C.【2-4】【2013年河南调研】为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为 ．【2-5】用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为x 2，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域.【解析】如上图，设x AB 2=，则CD 弧长x π,于是22x x m AD π--=， 因此22222x x x m x y ππ+--⋅=，即mx x y ++-=224π， 再由⎪⎩⎪⎨⎧>-->02202x x m x π，解之得20+<<πm x ， 即函数式是mx x y +⋅+-=224π. 定义域是：（0，2+πm ） 综合点评：已知函数解析式的类型，一般用待定系数法求解，对含有参数的解析式，一般根据已知条件及函数的性质求出参数，从而得到其解析式.【基础知识重温】二次函数模型：c bx ax x f ++=2)(（a 、b 、c 为常数，0≠a ）.【方法规律技巧】有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．【新题变式探究】【变式一】某厂有容量300吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知:该厂生活用水每小时10吨,工业用水总量W (吨)与时间t (单位:小时,规定早晨六点时0=t )的函数关系为t W 100=,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级, 进水量增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出?【变式二】【2013年苏州模拟】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t ，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|. （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．考点三：指数函数模型【题组全面展示】【3-1】某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图像大致为( )【答案】D【解析】设原来森林蓄积量为a ，则a (1＋10.4%)y ＝x ·a ，即1.104y ＝x . 因此y ＝log 1.104x (x ≥1)．【3-2】【2013年长春联合测试】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【3-3】某企业生产总值的月平均增长率为P ，则年平均增长率为（ ）A. 11(1)P +B. 12(1)P + C . 12(1)1P +- D. 11(1)1P +-【答案】C【解析】设企业1月底生产总值为a ，月平均增长率为P ，一年后共有12(1)a P +，增长了12(1)a P a +-，年平均增长率为1212(1)(1)1a P a P a+-=+-，选C. 【3-4】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m 倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是（ ）A.11mB.12mC.12m －1D.11m －1【3-5】【2012年广州模拟】一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. （Ⅰ）求每年砍伐面积的百分比；（Ⅱ）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（Ⅲ）今后最多还能砍伐多少年？综合点评：求解关键是把问题的指定状态转化为方程或不等式.【基础知识重温】指数函数模型：c ba x f x+=)(（a 、b 、c 为常数，0>a 且1≠a ，0≠b ）.【方法规律技巧】1．指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增【变式一】【2012年梅州模拟】某电器公司生产A 种型号的家庭电脑，2011年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2012年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低．预计2015年每台A 种型号的家庭电脑的出厂价仅是2011年的出厂价的80%，实现了纯利润为50%的高效益．（Ⅰ）求2015年每台电脑的生产成本；（Ⅱ）以2011年的生产成本为基数，求2011年至2015年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：5＝2.236，6＝2.449)【变式二】【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=实际付款额商品的标价．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（Ⅰ）写出当(0,1000]x ∈时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率； （Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于23？ 考点四：对数函数模型【4-1】光线透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线的强度减少到原来的13，则至少要（ ）快这样的玻璃(lg 30.4771=).A ．8 B. 9 C. 10 D. 11【4-2】在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A. y ＝2xB ．y ＝log 2xC ．y ＝12(x 2－1) D ．y ＝2.61cos x 【答案】B【解析】通过检验可知，x y 2log =较为接近．【4-3】【2011年湖北高考】里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【4-4】某种放射性元素的原子数N 随时间t 变化规律是0t N N e λ-=，其中0N 、λ为正的常数. 由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t 为 . 【答案】01ln N t N λ=- 【解析】因为0t N N e λ-=，所以0t N e N λ-=，两边取以e 为底的对数，所以01ln N t N λ=-. 【4-5】我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10O v =，单位/m s ，其中O 表示燕子的耗氧量. 则当燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是80个单位时的飞行速度分别是（ ）A ．10 个 15/m s B. 10 个 8/m sC. 15 个 15/m sD. 50 个 15/m s【答案】A【解析】由题意知，当燕子静止时，它的速度0v =，代入25log 10O v =，即205log 10O =， 解得10O =个单位. 所以22805log 5log 81510v === /m s . 综合点评：函数问题的运用题，要仔细审题，准确选取模拟函数的类型，特别应注意自变量的取值范围.【基础知识重温】对数函数模型：c x b x f a +=log )(，（a 、b c 为常数，0>a 且1≠a ，0≠b ）.【方法规律技巧】解答函数应用题的一般步骤：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【变式1】 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(2lg ≈0.301 0，3lg ≈0.477 1，7lg ≈0.845 1)【变式2】【2013年模拟】某公司为了实现2013年销售利润1 000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.025x ，y ＝1.003x ，y ＝12ln x ＋1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由． (参考数据：5003.1538≈，⋅⋅⋅=71828.2e ，29818=e )设F (x )＝2ln x ＋4－x ，则F ′(x )＝2x －1＝2－x x<0，x ∈[10,1 000]， ∴F (x )在[10,1 000]上为减函数，F (x )max ＝F (10)＝2ln 10＋4－10＝2ln 10－6＝2(ln 10－3)<0，满足③.综上，奖励模型y ＝12ln x ＋1能完全符合公司的要求． 三、易错试题常警惕例.如图所示，在矩形ABCD 中，已知a AB =，b BC =（)b a >，在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积.综上所述，若b a 3≤，当4b a x +=时面积取得最大值8)(2b a +； 若b a 3>，当b x =时面积取得最大值2b ab -.。