总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是，每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。
本段讨论非齐次线性微分方程组
（5.14）
的解的结构问题，这里 是区间 上已知nxn连续矩阵， 是区间 上的已知的n维连续列向量，向量 通常称为强迫项，因为如果（5.14）描述一个力学系统， 就代表外力。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为
证明
考虑n阶线性微分方程的初值问题
（5.6）
其中 是区间 上的已知连续函数， ， 是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：
（5.7）
其中
事实上，令
这时
而且
现在假设 是在包含 的区间 上（5.6）的任一解，由此，我们得知 在 上存在、连续、满足方程（5.6）且 令
其中 那么，显然有 ，此外，我们还得到
这就表示这个特定的向量 是（5.7）的解，反之，假设向量u（t）是在包含 的区间 上（5.7）的解，令
并定义函数 ，由（5.7）的第一个方程，我们得到 ，由第二个方程得到 有第n-1个方程得到 由第n个方程得到
由此即得
同时，我们也得到
这就是说， 是（5.6）的一个解
从上一节我们知道，如果c是常数列向量，则 是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解，因此，我们将c变易为t的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
（5.24）
的解，这里 是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
因为 是（5.15）的基解矩阵，所以 ，由此上式中含有 的项消去了，因而 必须满足关系式
（5.25）
因为在区间 上 是非奇异的，所以 存在，用 左乘（5.25）两边，然后积分之，得到
其中 =0，这样，（5.24）变为
（5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解 ，则 由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数 必定是（5.14）的解，事实上，微分（5.26）得到
（5.23）
这里c是确定的常数列向量
证明由性质2我们知道 是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到
这里c是确定的常数列向量，由此即得
定理证毕
定理7告诉我们，为了寻求（5.14）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐次线性微分方程组（5.15）的基解矩阵，现在，我们要进一步指出，在已经知道（5.15）的基解矩阵 的情况下，有一个寻求（5.14）的解 的简单方法，这个方法就是常数变易法。
我们容易验证（5.14）的两个简单性质
性质1如果 是（5.14）的解， 是（5.14）对应的其次线性微分方程组（5.15）的解，则 是（5.14）的解
性质2如果 和 是（5.14）的两个解，则 是（5.15）的解
下面的定理7给出（5.14）的解的结构
定理7设 是（5.15）的基解矩阵， 是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表为
再利用公式（5.26），即得
显然，还有 =0，这样一来，我们就得到了下面的定理8
定理8如果 是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
是（5.14）的解，且满足初值条件
由定理7和定理8容易看出，（5.14）的满足初值条件 的解 由下面公式给出
(7)
这里 是（5.15）的满足初值条件 的解，公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐次线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。
问题重述
如果 是区间 上的连续函数， 是区间 上齐次线性微分方程
（5.21）
的基本解组，那么，非齐次线性微分方程
(5.28)
的满足初值条件
的解由下面公式给出
（5.29）
这里 是 的朗斯基行列式， 是在 中的第k行代以 后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式
，（5.30）
这里 是适当选取的常数。