§3. 5 函数的极值与最大值最小值
授课次序22
极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法:
设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , 则比较
f (a ), f (x 1), ⋅ ⋅ ⋅ , f (x n ), f (b )
的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值.
解 ⎩⎨⎧∈-+-⋃-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ⎩⎨⎧∈+-⋃-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2
3=x ; 不可导点为x =1和x =2.
由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最
大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0.
例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=.
设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ⋅CD +3k ⋅DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100).
现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2
-+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km).
由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
1
1500|+
==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省.
例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？
解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则
y =5k ⋅CD +3k ⋅DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005(
2
-+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005
1
1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当
AD =x =15km 时, 总运费为最省.
D
C
20km A B 100km。