数与式的运算一、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式22()()a b a b a b +-=-；⑵完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；⑶三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；⑷两数和完全立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算：⑴)749)(7(2x x x +-+⑵)1)(1)(1)(1(22+-+++-a a a a a a(3)+ (4)2222[(2)][(2)]x y x y -+++答案：（1）3343x + （2）61a - （3）a cb +--(4)42242228816x x y y x y ++-++例题的设计意图(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。
二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥(2)(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥ 三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例2】化简（1（2）11xx x x x-+-例题的设计意图（1）考查根式的性质（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快（1）解法一：因为222=+22426==+=0>=解法二：==2======2=====解法一：利用到a =和2a =，先计算原式的平方，然后再开方．（2）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。
一、公式法(立方和、立方差公式)【公式1】2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++【公式2】3223333()a a b ab b a b +++=+【公式3】3223333()a a b ab b a b -+-=- 【公式4】3322()()a b a b a ab b +=+-+ 【公式5】3322()()a b a b a ab b -=-++ 【例1】把下列各式分解因式： ⑴33827x y --= ； ⑵3314()()2x y x y --+= ； ⑶32238365427x x y xy y -+-= ；⑷76x xy -= ； 【答案】（1）22(23)(469)x y x xy y -+-+ （2）221(3)(763)2x y x xy y --+ （3）（3）3(23)x y -（4）2222()()()()x x y x xy y x y x xy y +-+-++二、十字相乘法一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解。
大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c写成1122a c a c⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．注意：1、十字相乘法思路：分解二次三项式，尝试十字相乘法。
分解二次常数项，交叉相乘做加法； 叉乘和是一次项，十字相乘分解它。
2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，【例2】把下列各式分解因式：⑴228x x +-=_______________ ；⑵276x x -+=___________ ；⑶2576x x +-=_______________ ；（4）226x xy y +- =_____________ （5）222()8()12x x x x +-++=______________ 【答案】⑴228(4)(2)x x x x +-=+-；⑵276(1)(6)x x x x -+=--；⑶2576(2)(53)x x x x +-=+-；（4）(3)(2)x y x y +-（5）(3)(2)(2)(1)x x x x +-+-【变式】用十字相乘法求下列方程的根⑴2280x x +-= ⑵2760x x -+=⑶25760x x +-= （4）222()8()120x x x x +-++=【答案】（1）4,2-（2）1,6（3）32,5-（4）3,2,1,2-- 【拓展】双十字相乘法对于某些二元二次六项式(22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++)，我们也可以用十字相乘法分解因式。
例如，分解因式2227225353x xy y x y ---+-．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 222(75)(22353)x y x y y -+--+可以看作是关于x 的二次三项式． 对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 222353(23)(111)y y y y -+-=--+。
再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解.所以 原式=[(23)][2(111)](23)(2111)x y x y x y x y +-+-+=+--+上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(双十字相乘法)。
具体步骤:分解形如22ax bxy cy dx ey f +++++的二次六项式,在草稿纸上，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如下图所示,j p m如果,,mq np b pk qj e mk nj d +=+=+=，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。
则22ax bxy cy dx ey f +++++()()mx py j nx qy k =++++【例】把下列各式分解因式：⑴222332x xy y x y +-+++=____________________________________________；⑵222341x xy y x y +----=____________________________________________； ⑶22414672x xy y x y -+-+-=____________________________________________； 【答案】⑴222332(32)(1)x xy y x y x y x y +-+++=++-+ ⑵222341(231)(1)x xy y x y x y x y +----=++-- ⑶22414672(421)(32)x xy y x y x y x y -+-+-=-+-- 三、求根法如果关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根21,x x ，那么多项式c bx ax ++2可以分解为))((212x x x x a c bx ax --=++。
由22121212()()()ax bx c a x x x x ax a x x x ax x ++=--=-++，比较系数得1212()a x x b ax x c -+=⎧⎨=⎩故1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩就得到韦达定理。
韦达定理：设12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，则1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【例3】把下列各式分解因式：⑴244x x +-=_________________；(2)2231x x +-=【答案】⑴244(22x x x x +-=+-++；(2))4173)(4173(21322+-++--=-+x x x x【例4】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等【重要结论】：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1b x -=，2b x -=， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．【变式】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。