横截面上不产生拉应力的条件 σtP1 AP2bP2 2he60
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
aa
aa
未开槽前 立柱为轴向压缩
P
P
1N AP A(2P a)24P a2
1
1
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
确定危险点
的应力状态，
内力分析
确定主应力
与内力图
确定危险截面
根据危险点 的应力状态 选用合适的 设计准则
小结
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握斜弯曲和拉（压）弯组合变形杆件
的应力和强度计算 3、了解平面应力状态应力分析的主要结论 4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度
条件和强度计算
选择题：
工程实例
绞车轴的弯曲变形
绞车轴的扭转变形
工程实例
工程实例
工程实例
1、外力向轴线简化，判定基本变形 弯扭组合 且为单向弯；
2、作内力图，确定危险面
My 3FL
T
FD/2
3 危险面上的内力
4、危险面上应力的分布规律，确定危险点
5、提取危险点处原始单元体
M W
T Wt
6、计算危险点处的主应力
b
e
z y
h
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz P
拉弯组合；
eP
Mz
P
z
y
h
黑板面内弯曲； 以z轴为中性轴的平面弯曲
b
（2） 求危险面上的内力
轴力 FN P2KN
弯矩 Mz Pe120Nm
（3）危险点的判定
_+
z ++
_+
++
Mz P
eP
Mz
P
z
y
h
b
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
观察立柱变形
摇臂钻
摇臂钻的变形
简易吊车的立柱受力与变形分析 压弯组合变形
1、拉（压）弯组合变形杆件横截面上的内力
=+
2、基本变形下横截面上的应力
c
F A
y z
t ,max c,max
t ,max
Fl Wy
c,max
Fl Wy
3、组合变形下横截面上的应力
c
F A
t ,max
75 1
F 51
03
66F7Pa
y1 y c
z0
z1
150
50
zc
c.m axM Iyc1zFAN
50
150
42551.3013F 1005.12515F103
93F4Pa
（6）强度条件
t.max66F7
c.max93F4
t.m a6 x F 67t c .m a9 x F 3 4 c
WD3 14 32
M、T 为危险面的弯矩和扭矩。
例 传动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力
偶矩Me=300Nm。两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径 向啮合力F1=1400N，轴材料许用应力[σ]=100MPa。 试按第三强度理论设计轴的直径d。a=150 b=200
（1）受力分析，作计算简图
F2RMe
F2M Re 30.200150N0
（2）作内力图,确定危险面
128.6N.m
120N.m
危险截面E 左处
危险面上内力 T 300N.m
M My2Mz2 17N 6.m （3）由强度条件设计d
r3
M2T2
W
W d 3 32
32 M2 T2
d 3
3.8 2 1 3 0 m 3.8 2 mm
例题 2 某圆轴受力如图所示。已知圆轴的直 径 D= 100mm ，杆长 L=1m ,材料的许用应力 []=160MPa。 试按第三强度理论进行强度较核。
y
z
S=90KN
P=100KN
0
x
m=100KN
（1）外力简化，判基本变形 轴向拉伸； 双向弯曲； 扭转；
（2）作内力图 ， 判断危险截面 危险截面 固定端截面
在小变形和线弹性条件下， 杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响；
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变 形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很 小可以忽略）；
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下 杆件内应力的叠加；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形的应 力及叠加法为基础。
My Mz
T
F2 F1
F1ab/L F2ab/L
Me
4、危险面上内力
5、弯矩矢量和
WWy Wz
M2 My2Mz2
中性轴的位置
M 矢量方位
6、考察应力分布规律，确定危险点位置
7、危险点处应力
8、提取危险点处原始单元体
T Wt
M W
9、计算危险点处主应力
M W
T Wp
第一组相当应力计算公式 可用吗？
r3 242[]
r4 232[]
第三组相当应力计算公式可用吗？
r3W 1 M2T2[] r4W 1 M 20.7T 52[]
M2 My2Mz2
塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形
第三强度理论：
r3W 1 M2T2[]
第四强度理论：
r4W 1 M 20.7T 52[]
W 为抗弯截面系数， W d 3 32
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
(3) 外力向轴线上简化
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F
a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
工程实例
§８-2 拉、弯组合变形
2、直角拐的边长为ａ＝60毫米，P＝10KN，力P 的作用线过AB截面的形心，求杆件内的最大正 应力。
4m B
3m
P A
§８-3 弯扭组合变形
杆件同时受到横截面平面内的外力偶矩和横向力作用时， 将产生弯扭组合变形； 是扭转和平面弯曲两种基本变形的组合。 弯扭组合是机械工程中较常见的情况；
分析构件的变形
§8-1 组合变形和叠加原理 §8-2 拉（压）与弯曲的组合 §8-4 扭转与弯曲组合
§８-1 组合变形与叠加原理
基本变形 构件只发生一种变形；
轴向拉压、扭转、平面弯曲、剪切；
组合变形：
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。
1、研究方法：
将复杂变形分解成基本变形；
独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
扭矩 Ｔ=5 KN.m
（4）危险截面上危险点处应力计算 采用哪一组公式计算相 当应力？
FN M 127MPa
A Wz
T Wt
5103
0.13
25.5MPa
16
（5） 强度分析
[ ] r3 242 137MPa
该杆件强度足够。
杆类构件的静力学设计的一般过程
受力分析 与计算简图
由应力分布规律
第二组
r3 242[] r4 232[]
σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的二向应力状态
第三组
r3W 1 M2T2[] r4W 1 M 20.7T 圆52截面[、]弯扭组合变形
扭转+双向弯曲
传动轴左端的轮子由电机带动，传入的外力偶矩Me。 两轴承中间的齿轮直径D，径向啮合力F1，轴的直径 为d，计算危险点处相当应力。
m ax x 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
m inx 2y1 2 xy24x 2y
1 242 0
22
1212 242
2 0
3212 242
r3 1 3
r41 2 [(1 2)2 (2 3 )2 (3 1 )2]
M W
T Wp
第二组相当应力计算公式可用吗？
aa

aa
P Pa/2
1
1
2N AW M2a P a1 6P 2aa 2 a22 aP 2
开槽后立柱的最大压应力 2P a2 8 未开槽前立柱的最大压应力 P 4a2
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P
10
10
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
M z=P2e
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
P P FN
1
2
Mz P2e
2、分析横截面上的应力
z
+_
_-
+_
--
轴力产生压应力
σ'PP1P2 AA
弯矩产生的最大拉应力
"Mz Wz
bPh22e6
160MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
50 150
50
150
（1）分析内力、判定基本变形
拉弯组合变形；
F 350
且弯曲发生在黑板面内；
M
FN
（2）计算横截面的形心位置、面积、形心主惯性矩
y1 y c