P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2|
|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
| P1P2 | (x1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 (z1 z 2 )2
在操作活动和观察、分析过程中发展主动 探索、质疑和独立思考的习惯。
教学重难点
重点
空间两点间距离公式。
难点
空间两点间距离公式的导出。
思考
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗？ 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 | (x 2 x1 ) 2 (y 2 y 1 ) 2
P
1
y
o
P
2
x
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C 0 P(x,y,z) By
x A
|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|
从立体几何可知，|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
∵PA=PB=PC,∴H为 ΔABC 的外心， 又∵ ΔABC 为正三角形，
随堂练习
1．若已知A（1，1，1），B（-3，-3，-3），则 线段AB的长为（ A ）
A.4 3 C .4 2 B.2 3 D.3 2
2．点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的射 影，则OB等于（ B ）
A. 14 C .2 3
所以
| OP | x 2 y 2 z 2
思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r，那么 x y z r 表示什 么图形？ z
O
x y
表示以原点为球心，r为半径的球体。
联想
x2 y 2 r 2 表示什么图形？
y
O r
x
表示以原点为圆心，r为半径的圆。
空间任意两点间的距离. R2 z .在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距 离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）
6 2 3 C. 2 A.
B. 3 6 D. 3
4.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B （2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为 （ D ） A．（7/2,，4，-1） B．（2，3，1） C．（-3，1，5） D．（5，13，-3）
新课导入
通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z
M （x，y，z）
O x x y y
如何计算空间两点之间的距离?
4.3.2 空间两点间的 距离公式
教学目标
知识与能力
空间两点间距离公式的导出及使用。
过程与方法
通过平面两点间的距离公式类比，探索空 间两点距离的求法。
情感态度与价值观
| AB | (10 4) 2 ( 1 1) 2 (6 9) 2 7 | BC | (4 2) 2 (1 4) 2 (9 3) 2 7 | AC | (10 2) 2 ( 1 4) 2 (6 3) 2 98
因为 7 7 98,
习题答案
1. (1) 6
(2) 70
2.解：设点M的坐标是（0，0，z）。 依题意，得：
(0 1) 2 0 (z 2) 2 (0 1) 2 (0 3) 2 (z 1) 2
解得 z=-3。 所以M点的坐标是（0，0，-3）。
3.证明：根据空间两点间距离公式，得：
平面内两点 P1 (x1 , y1 , z1 ), P2 (x2 , y 2 , z 2的距离公式是： )
| P1 P2 | (x 1 x 2 ) 2 (y 1 y 2 ) 2 (z 1 z 2 ) 2
z
P1 (x1 , y 1 , z1 )
O
P2 (x2 , y 2 , z 2 ) x
B
A
根据题意，建立如图所示的坐标系，则P （0,0,0），A（a,0,0），B（0,a,0），C（0,0,a）
z C
x
P A
H B y
过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H， 则PH的长即为点P到平面ABC的距离。
z
C
P A H B y
x
a a a ∴H为 ΔABC 的重心，可得点H的坐标为( , , ) 3 3 3 a 2 a 2 a 2 3 | PH | (0 ) (0 ) (0 ) a 3 3 3 3 ∴点P到平面ABC的距离是 3 a 3
且|AB|=|BC|，
所以 ΔABC 是直角三角形。
a 2a 4.由已知，得点N的坐标为 ( , ,0), 3 3 a 2a
点M的坐标为 ( , a, )。 于是 3 3 a a 2 2a 2a 2 5 2 | MN | ( ) ( a) (0 ) a 3 3 3 3 3
y
例三
已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，1，4），求证其连线组成的三角形为直角三角形。
利用两点间距离公式，由
| AB | 89, | AC | 75, | BC| 14
从而， | AC |
2
| BC|2 | AB |2
根据勾股定理，结论得证。
例四 在四面体P-ABCA中，PA、PB、PC两 两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面 ABC的距离。 C P