第19讲行程问题三内容概述运动过程较为复杂的行程问题，一般通过分段、比较等办法进行考虑。
在往返问题中考虑多次相遇和多次追及的过程，需要注意从整体考虑两个对象的路程和或路程差，并从中找到规律。
典型例题兴趣篇1.莉莉和莎莎一起从家去学校，莉莉步行，莎莎骑车．莎莎到学校后发现自己没带文具盒，便立刻骑车回家去取，到家取出文具盒后又马上骑向学校，结果她和莉莉一起到校，如果莉莉每分钟走53米，那么莎莎骑车每分钟行进多少米？答案：每分钟159米解析：注意到莉莉与莎莎两人同时从家出发，同时到达学校，而且两人在途中都没有停留，因此两人用去的时间相同．当运动时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系．如图，莉莉步行从家到学校，走的路程是家与学校的距离．在相同的时间内，莎莎骑车到学校，又马上从学校返回家，再回到学校，经过的路程是家与学校距离的3倍，因此莎莎骑车的速度是莉莉步行速度的3倍，由于莉莉每分钟走53米，所以莎莎骑车的速度是每分钟53×3=159米．2．小燕上学时骑车？回家时步行，路上共用50分钟．如果往返都步行，则全程需要70分钟，求小燕往返都骑车所需的时间．答案：30分钟解析：如图，因为小燕往返都步行需要70分钟，所以她步行从学校回到家需要70÷2=35分钟．由于小燕上学时骑车，回家时步行需要50分钟，所以她骑车从家到学校需要50-35=15分钟，那么她往返都骑车需要15×2=30分钟．3．萱萱和卡莉娅从距离32千米的两地同时出发相向而行，萱萱每小时走4千米，卡莉娅乘坐“飞天扫帚”，每小时飞12千米，她俩迎面相遇后，卡莉姬发现自己忘记带东西了，立刻返回出发点，再掉头向萱萱前进．请问：她们第二次相遇的地点距离卡莉娅的出发点多少千米？答案：12千米解析：第一次相遇时卡莉娅走了32÷(4+12)×12=24(千米)．从第一次相遇到第二次相遇，两人又合走了24×2=48(千米)．这期间萱萱又往前走了48÷(4+12)×4=12(千米)．因此第二次相遇点离卡莉娅的出发点24-12=12(千米)．4．培英学校和电视机厂之间有一条公路，原计划下午2点整培英学校派车去电视机厂接劳模来校作报告，往返需用1小时．实际上这位劳模在下午1点便提前离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，劳模便立刻上车去往学校，并在下午2点40分到达．问：汽车行驶速度是劳模步行速度的几倍？答案：8倍解析：如图，汽车下午2时从工厂出发，途中遇到迎面走来的劳模后立即返回，于2时40分回到工厂，汽车的速度不变，因此汽车遇到劳模的时间是2时20分，另一方面，汽车往返学校与工厂需要1小时，因此从学校到工厂单程行驶需要30分钟，也即如果汽车2时从学校出发，按计划将于2时30分到达工厂．所以汽车途中遇到劳模提前了10分钟返回，而少行驶的10分钟路程正是劳模步行了60+20=80分钟的路程。
因为劳模通过相同路程所用时间是汽车的80÷10=8倍．由此得到汽车的速度是劳模速度的8倍。
5．甲、乙两车分别从相距300千米的A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米．请问：(1)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇？(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次迎面相遇？(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇？答案：(1)6小时(2) 12小时(3) 12小时解析：(1)从线段图中看到，两车同时出发相向而行，第一次迎面相遇时，两车经过的路程和是一个全长．由于两车的速度分别是30千米／时和20千米／时，则两车的速度和是30+20=50千米／时．所以两车第一次相遇是在出发后300÷50=6小时．(2)从第一次迎面相遇开始，到第二次迎面相遇，两车经过的路程和是两个全长，这段过程所需的时间是300×2÷50=12小时，(3)从第二次迎面相遇开始，到第三次迎面相遇，两车经过的路程和也是两个全长，因此这段时间也是12小时。
6．甲、乙两车同时从A地出发，在相距300千米的A、B两地之间不断往返行驶．已知甲车的速度是每小时30千米，乙车的速度是每小时20千米，请问： (l)出发后经过多长时间甲、乙两车第一次迎面相遇？(2)第一次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第二次迎面相遇？(3)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙两车第三次迎面相遇？答案：(1)12小时(2)12小时(3) 12小时解析：(1)从线段图中看到，两车同时出发同向而行，第一次迎面相遇时，两车经过的路程和是两个全长，由于两车的速度分别是30千米／时和20千米／时，则两车的速度和是30+20=50千米／时．所以两车第一次相遇是在出发后300×2÷50=12小时．(2)从第一次迎面相遇开始，到第二次迎面相遇，两车经过的路程和是两个全长．这段过程所需的时间是300×2÷50=12小时．(3)从第二次迎面相遇开始，到第三次迎面相遇，两车经过的路程和也是两个全长，同样方法可以得到，这段时间也是12小时．7．甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往退行驶，已知甲车的速度是乙车的2倍，请问：(1)甲、乙两车第一次迎面相遇在距离A地多少千米处？(2)甲、乙两车第二次迎面相遇在距离A地多少千米处？答案：(1) 400千米(2)0千米解析：(1)第一次迎面相遇时，甲走了600÷(2+1)×2=400千米，相遇点离A 地400千米．(2)第二次迎面相遇时，甲走了600×3÷(2+1)×2=1200千米，相遇点在A地．8． A、B两辆汽车从甲、乙两站同时出发，相向而行，在距甲站50千米处两车第一次迎面相遇，相遇后两车继续前进（保持原速）各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，在距乙站30千米处两车第二次迎面相遇．问：甲、乙两站相距多远？若两车继续前进，则在何处第三次迎面相遇？答案：120千米；距甲站10千米的地方相遇解析：根据题意，第一次相遇时，A、B两辆汽车所走的路程之和正好是甲、乙两站的距离，而第二次相遇时A、B两辆汽车所走的路程之和正好是甲、乙两站距离的3倍，因此，从出发到第二次相遇的时间是从出发到第一次相遇时间的3倍，根据这一点，再结合两车的行程过程，容易求出答案，如图1，从开始到第一次相遇。
如图2，从开始到第二次相遇．第二次相遇时A车所走的距离是第一次相遇时A车所走距离的3倍．为50×3=150千米．观察图2容易看出，甲、乙两站之间的距离，等于第二次相遇时A车走的距离，再减去第二次相遇时A车与乙地的距离．因此，甲、乙两站之间的距离为150-30=120千米．如图3，从开始到第三次相遇．从图3中可以看出，当A、B两车的路程和为5个全长时，第三次迎面相遇．所以从出发到第三次相遇（图中④时刻）的时间是从出发到第一次相遇时间的5倍，此时A车总共行程为50×5=250千米，所以，两车第三次相遇的地点是距甲站250-120×2=10千米的地方．9． A、B两辆汽车同时从甲地出发，在甲、乙两地间不断往返行驶，第一次迎面相遇距离甲地40公里，第二次迎面相遇距离乙地10公里．求甲、乙两地之间的距离。
答案：70千米或90千米解析：不妨假设A车的速度比B车快．回顾往返相遇问题的结论：两车同时从同一地点出发，从出发到第一次迎面相遇，两车的路程和是两个全长；从出发到第二次迎面相遇，两车的路程和是四个全长，因此，两车第一次迎面相遇时，A车在从乙返回甲的途中．而第二次迎面相遇时，A车的行驶方向就不确定了，需要分两种情形讨论，情形1：A车在从甲去往乙的途中，如图1所示，由于A车的速度比B 车快，两车又是同时出发，因此A车经过的路程比B车长．由题意，从出发到第一次迎面相遇，两车的路程和是两个全长，其中白车经过的路程是40千米；从出发到第二次迎面相遇，两车的路程和是四个全长，那么这段时间就是从出发到第一次迎面相遇的时间的4÷2=2倍，从而B车经过的路程就是40×2=80千米．从图1中看出，这段路程正是一个全长与10千米之和，因此两地距离就是80-10=70千米．情形2：A车在从乙返回甲的途中，如图2所示．用同样的方法分析，可知在第二次迎面相遇时，B车经过的路程也是80千米，而此时B车尚未走完一个全长，距离乙地还差10千米，因此两地距离就是80+10=90千米．综合上面的分析，得到甲、乙两地的距离是70千米或90千米。
10． A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米．请问：(l)如果小明从A地坐电车去B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？(2)如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他？答案：(1)6分钟(2) 10分钟15分钟解析：先看相遇过程，如图1所示：则小明从与前一辆电车相遇，到与下一辆电车相遇，其相遇路程兢是两辆相邻电车之间的距离，也就是在发车间隔中电车行驶的距离．再看追及过程，如图2所示：于是知道，从前一辆电车追上小明，到下一辆电车追上小明，其追及路程就是两辆相邻电车之间的距离，也就是在发车间隔中电车行驶的距离．由题意，车站发车时间间隔是12分钟，车速是每小时25千米，那么，同向行驶的相邻两车的间距就是25×12÷60=5千米．(1)小明坐上电车，与迎面驶来的电车相遇，这可以看作是电车与电车的相遇问题．两车的路程和是相邻两车的间距5千米，速度和是25+25=50千米／时，所以相遇的时间是5÷50×60=6分钟．因此，小明每隔6分钟看见迎面驶来一辆电车．(2)小明步行时，他与迎面开来的汽车之间是相遇问题，在这个相遇问题中，路程和是相邻两车的间距5千米，速度和是5+25=30千米／时，那么相遇的时间就是5÷30×60=10分钟，因此，小明每隔10分钟看见迎面驶来一辆电车。
小明步行时，从背后驶来的电车与小明是追及问题．在这个追及问题中，路程差是相邻两查的间距5千米，速度差是25-5=20千米／时，因此相邻两车追上小明的时间差是5÷20×60=15分钟．即每隔15分钟，就有一辆电车从后面超过小明．拓展篇1．甲、乙两人从同一个地点出发同向而行，甲比乙先出发，甲出发6分钟到达A地，此时乙距离起点150米，又过了3分钟乙到达A地，此时甲距离起点900米．问：乙比甲晚出发多长时间？答案：5分钟解析：本题中以下这些时刻是至关重要的，甲出发的时刻（①时刻），乙出发的时刻（②时刻），甲到达A地的时刻（③时刻），乙到达A地的时刻（④时刻）．将这4个时刻甲、乙两人的位置在图中标注出来，如图1所示：在图1中，很容易看出甲从①时刻到④时刻所走的路程为900米，所花时间为9分钟．因此甲的速度为900÷9=100米／分，如图2，甲从①时刻到③时刻的路程为100×6=600米，则乙从③时刻到④时刻走了600-150=450米，所花时间为3分钟，因此乙的速度为450÷3=150（米／分）．最后，乙从②时刻到③时刻走了150米，所花时间为150÷150 =1分钟，也即乙比甲晚了6-1=5分钟出发。